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REET L1+L2 · गणित

माध्य, माध्यिका एवं बहुलक (Mean, Median, Mode) — REET गणित नोट्स

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यह पेज REET गणित के 'माध्य, माध्यिका एवं बहुलक' (Mean, Median, Mode) टॉपिक को सिलेबस के अनुसार कवर करता है — परिभाषाएँ, सूत्र और स्वयं गणना करके जाँचे गए आँकड़ों वाले हल किए उदाहरण सरल भाषा में समझाए गए हैं। REET Level 1 व Level 2 दोनों की गणित परीक्षा में सांख्यिकी खंड में यह टॉपिक शामिल है, इसलिए तीनों मापों का सही अंतर व गणना विधि याद रखना ज़रूरी है।

  • REET 2024 में 0 प्रश्न (सिलेबस-आधारित नोट्स)
  • कक्षा 7–8 स्तर
  • 8 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 के प्रश्नपत्रों के रिकॉर्ड में 'माध्य, माध्यिका एवं बहुलक' (Mean, Median, Mode) से कोई सीधा प्रश्न दर्ज नहीं मिला, फिर भी यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस के सांख्यिकी खंड (कक्षा 7-8 स्तर) में शामिल है और छोटे आँकड़ा-समूहों से केंद्रीय प्रवृत्ति की माप निकालने वाले प्रश्न प्रतियोगी परीक्षाओं में सामान्य हैं। नीचे के नोट्स सिलेबस की वर्डिंग और स्वयं गणना करके जाँचे गए आँकड़ों पर आधारित हैं — कोई काल्पनिक 'पिछला प्रश्न' नहीं लिया गया है।

मूल परिभाषाएँ

माध्य (mean) किसी आँकड़ा-समूह के सभी प्रेक्षणों (observations) का औसत है: माध्य = (सभी मानों का योग) ÷ (मानों की संख्या)। यह केंद्रीय प्रवृत्ति (central tendency) की सबसे सामान्य माप है, पर एक अत्यधिक बड़ा या छोटा मान (outlier) इसे भ्रामक बना सकता है।

माध्यिका (median) आँकड़ों को आरोही क्रम में लगाने पर ठीक बीच का मान है। यदि मानों की संख्या (n) विषम हो, तो माध्यिका (n+1)/2 वाँ पद है; यदि n सम हो, तो माध्यिका n/2 वें और (n/2+1) वें पद के औसत के बराबर होती है। बहुलक (mode) वह मान है जो आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है — किसी समूह में एक से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं, या कोई बहुलक न भी हो।

काम आने वाले सूत्र

माध्य (mean)
सभी मानों का योग ÷ मानों की संख्या
माध्यिका (n विषम)
(n+1)/2 वाँ पद (आरोही क्रम में)
माध्यिका (n सम)
n/2 वें व (n/2+1) वें पद का औसत
बहुलक (mode)
सबसे अधिक बार आने वाला मान
सबसे अधिक प्रभावित माप
माध्य — यह एक अत्यधिक मान (outlier) से सबसे ज़्यादा प्रभावित होता है

हल किए उदाहरण

आँकड़ेमाध्य, माध्यिका, बहुलक
10, 20, 30, 40, 50माध्य = 150/5 = 30; माध्यिका (n=5, विषम) = बीच का पद = 30; बहुलक = कोई नहीं (सभी मान अलग)
2, 3, 3, 5, 7, 3, 8 (आरोही क्रम: 2,3,3,3,5,7,8)माध्य = 31/7 ≈ 4.43; माध्यिका (n=7) = 4था पद = 3; बहुलक = 3 (तीन बार आया)
5, 8, 12, 15, 20, 25 (n=6, सम)माध्य = 85/6 ≈ 14.17; माध्यिका = (12+15)/2 = 13.5

सभी मान जोड़कर व क्रमबद्ध करके स्वयं जाँचे गए हैं।

बारंबारता सारणी (frequency table) से माध्य, माध्यिका, बहुलक

जब आँकड़े बारंबारता सारणी में दिए हों, तो माध्य निकालने के लिए हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा कर जोड़ें, फिर कुल बारंबारता से भाग दें। उदाहरण: 11 विद्यार्थियों के प्राप्तांक इस प्रकार हैं — अंक 5 (2 विद्यार्थी), अंक 6 (5 विद्यार्थी), अंक 7 (3 विद्यार्थी), अंक 8 (1 विद्यार्थी)। कुल विद्यार्थी = 2+5+3+1 = 11।

माध्य = (5×2 + 6×5 + 7×3 + 8×1) ÷ 11 = (10+30+21+8) ÷ 11 = 69/11 ≈ 6.27। बहुलक = 6 (सबसे अधिक बारंबारता, 5 विद्यार्थी)। माध्यिका के लिए 6वाँ पद देखें — संचयी बारंबारता: अंक 5 तक 2, अंक 6 तक 2+5=7; अतः 6वाँ पद अंक 6 की श्रेणी में आता है, इसलिए माध्यिका = 6।

एक और हल किया उदाहरण

10 विद्यार्थियों के परीक्षा में प्राप्तांक इस प्रकार हैं: 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90। इनका माध्य व माध्यिका ज्ञात करें। हल: योग = 45+50+55+60+65+70+75+80+85+90 = 675। माध्य = 675/10 = 67.5। n=10 (सम), माध्यिका = 5वें व 6वें पद (65 व 70) का औसत = (65+70)/2 = 67.5।

इस उदाहरण में माध्य व माध्यिका दोनों बराबर (67.5) आए — यह इसलिए हुआ क्योंकि आँकड़े समान अंतराल (हर बार 5 का अंतर) से सजे हैं, यानी एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाते हैं। जब आँकड़े इस तरह सममित (symmetric) रूप से फैले हों, तो माध्य व माध्यिका बराबर या बहुत करीब आते हैं — यह विद्यार्थियों को आँकड़ों की बनावट समझने में मदद करता है।

इसके विपरीत, यदि इसी समूह में एक अत्यधिक मान जोड़ दिया जाए — जैसे उपरोक्त 10 प्राप्तांकों में एक 11वाँ विद्यार्थी जिसके 300 अंक (गलती से या किसी असाधारण कारण से) दर्ज हों — तो नया माध्य = (675+300)/11 = 975/11 ≈ 88.6 हो जाएगा, जो बाकी सभी विद्यार्थियों के वास्तविक प्रदर्शन से कहीं ज़्यादा दिखेगा। जबकि माध्यिका इस एक अत्यधिक मान से लगभग अप्रभावित रहती है — यही कारण है कि वास्तविक जीवन के असामान्य आँकड़ों (जैसे आय) में माध्यिका को अधिक विश्वसनीय माप माना जाता है।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

गतिविधि

कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई (या जूते का नाप) मापकर वास्तविक आँकड़े इकट्ठा करवाएँ, फिर उन्हीं से माध्य, माध्यिका व बहुलक स्वयं निकलवाएँ — इससे सांख्यिकी की अवधारणा रोज़मर्रा के जीवन से सीधे जुड़ जाती है।

शिक्षण सहायक सामग्री

आँकड़ों को पहले पट्टी/लाइन पर आरोही क्रम में सजाकर (मानव-श्रृंखला की तरह) माध्यिका को 'बीच में खड़ा विद्यार्थी' दिखाकर समझाना कारगर है।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर बिना क्रमबद्ध किए ही माध्यिका निकालने की कोशिश करते हैं, या माध्य व बहुलक को एक ही मान समझ लेते हैं — हर बार आँकड़ों को पहले आरोही क्रम में लगाना ज़रूर याद दिलाएँ।

आकलन विचार

विद्यार्थियों को एक ऐसा आँकड़ा-समूह दें जिसमें एक बहुत बड़ा मान (outlier) हो, और पूछें कि माध्य व माध्यिका में से कौन-सा मान कम प्रभावित हुआ — इससे दोनों मापों के अंतर की समझ जाँची जा सकती है।

याद रखने की ट्रिक

माध्यिका निकालने से पहले आँकड़ों को हमेशा आरोही क्रम में लगाएँ — यह सबसे आम भूल की जगह है। n विषम होने पर माध्यिका सीधे बीच का पद है; n सम होने पर बीच के दो पदों का औसत लें, इसे 'सम में साझा, विषम में सीधा' कहकर याद रखा जा सकता है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

आँकड़ों 12, 15, 18, 21, 24 का माध्य ज्ञात करें।

  1. A20
  2. B17
  3. C21
  4. D18

व्याख्या

योग = 12+15+18+21+24 = 90। माध्य = 90/5 = 18।

प्रश्न 2

आँकड़ों 23, 29, 20, 25, 18 की माध्यिका ज्ञात करें।

  1. A20
  2. B24
  3. C23
  4. D25

व्याख्या

आरोही क्रम में: 18, 20, 23, 25, 29। n=5 (विषम), माध्यिका = (5+1)/2 = तीसरा पद = 23।

प्रश्न 3

आँकड़ों 4, 5, 6, 4, 7, 4, 8, 5 का बहुलक ज्ञात करें।

  1. A8
  2. B4
  3. C5
  4. D6

व्याख्या

मान 4 तीन बार आया है, जो किसी भी अन्य मान से अधिक बार है (5 दो बार, बाकी एक-एक बार); अतः बहुलक = 4।

प्रश्न 4

आँकड़ों 10, 15, 20, 25, 30, 35 की माध्यिका ज्ञात करें।

  1. A22.5
  2. B20
  3. C25
  4. D21

व्याख्या

n=6 (सम)। माध्यिका = तीसरे व चौथे पद का औसत = (20+25)/2 = 22.5।

प्रश्न 5

5 संख्याओं का माध्य 20 है। यदि इनमें से एक संख्या हटा दी जाए तो शेष 4 संख्याओं का माध्य 19 हो जाता है। हटाई गई संख्या क्या थी?

  1. A20
  2. B19
  3. C24
  4. D16

व्याख्या

5 संख्याओं का योग = 20×5 = 100। शेष 4 का योग = 19×4 = 76। हटाई गई संख्या = 100−76 = 24।

प्रश्न 6

यदि n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., xₙ का माध्य M है, और हर प्रेक्षण में 5 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?

  1. A5M
  2. BM + 5
  3. CM/5
  4. DM

व्याख्या

जब हर प्रेक्षण में समान संख्या (5) जोड़ी जाए, तो माध्य में भी वही संख्या जुड़ जाती है, क्योंकि योग में n×5 की बढ़ोतरी होती है और भाग n से ही होता है, इसलिए नया माध्य M+5 होगा।

प्रश्न 7

आँकड़ों 3, 3, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 9 का बहुलक ज्ञात करें।

  1. A7
  2. B3
  3. C5
  4. D9

व्याख्या

मान 9 चार बार आया है (3 तीन बार, 5 दो बार, 7 एक बार), जो सबसे अधिक बारंबारता है; अतः बहुलक = 9।

प्रश्न 8

प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4, 5) का माध्य ज्ञात करें।

  1. A3
  2. B4
  3. C2.5
  4. D15

व्याख्या

योग = 1+2+3+4+5 = 15। माध्य = 15/5 = 3।

प्रश्न 9

कक्षा 8 में माध्य, माध्यिका व बहुलक की अवधारणा को वास्तविक जीवन से जोड़कर पढ़ाने के लिए सबसे उपयुक्त उदाहरण कौन-सा है?

  1. Aकेवल सूत्र रटवाना, बिना किसी उदाहरण के
  2. Bकक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई मापकर स्वयं उसका माध्य, माध्यिका व बहुलक निकलवाना
  3. Cइस टॉपिक के लिए किसी गतिविधि की आवश्यकता नहीं
  4. Dआँकड़े दिए बिना केवल परिभाषा याद करवाना

व्याख्या

वास्तविक आँकड़े इकट्ठा कर स्वयं गणना करना विद्यार्थियों को सांख्यिकी की उपयोगिता समझने में मदद करता है और अवधारणा को रोज़मर्रा के जीवन से जोड़ता है, जो रटने से कहीं अधिक स्थायी सीख देता है।

प्रश्न 10

आँकड़ा-समूह में किसी एक अत्यधिक बड़े मान (outlier) का सबसे अधिक असर केंद्रीय प्रवृत्ति की किस माप पर पड़ता है?

  1. Aबहुलक (mode)
  2. Bमाध्यिका (median)
  3. Cमाध्य (mean)
  4. Dइनमें से कोई नहीं

व्याख्या

माध्य सभी मानों के योग पर निर्भर करता है, इसलिए एक अत्यधिक बड़ा या छोटा मान (outlier) इसे तेज़ी से बदल देता है, जबकि माध्यिका व बहुलक अपेक्षाकृत स्थिर रहते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET परीक्षा में 'माध्य, माध्यिका, बहुलक' से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से कोई सीधा प्रश्न रिकॉर्ड में नहीं मिला, परंतु यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस के सांख्यिकी खंड में शामिल है, इसलिए इसकी तैयारी ज़रूरी है।

माध्य, माध्यिका व बहुलक में से कौन-सी माप outlier (अत्यधिक मान) से सबसे ज़्यादा प्रभावित होती है?+

माध्य (mean) एक असाधारण रूप से बड़े या छोटे मान से सबसे अधिक प्रभावित होता है, जबकि माध्यिका व बहुलक पर इसका असर कम होता है।

सम संख्या के आँकड़ों में माध्यिका कैसे निकाली जाती है?+

आँकड़ों को आरोही क्रम में लगाने के बाद बीच के दो पदों (n/2वें व n/2+1वें) का औसत निकालकर माध्यिका ज्ञात की जाती है।

क्या किसी आँकड़ा-समूह में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं?+

हाँ, यदि दो या अधिक मान समान सबसे अधिक बारंबारता से आते हैं तो उस समूह के एक से अधिक बहुलक (bimodal/multimodal) हो सकते हैं, और यदि सभी मान अलग-अलग हों तो कोई बहुलक नहीं होता।

माध्य व माध्यिका बराबर कब आते हैं?+

जब आँकड़े समान अंतराल से सजे हुए (समांतर श्रेणी की तरह सममित) हों, तो माध्य व माध्यिका प्रायः बराबर या बहुत करीब आते हैं; किसी एक अत्यधिक मान (outlier) से यह समानता टूट सकती है।

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आधिकारिक स्रोत

  1. BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए