पाई चार्ट एवं आयतचित्र (Pie Chart & Histogram) — REET गणित नोट्स
पाई चार्ट और आयतचित्र REET गणित में डेटा को दृश्य रूप में पढ़ने-बनाने की समझ परखते हैं। यह पेज सेक्टर कोण सूत्र, हिस्टोग्राम-बार ग्राफ का अंतर और REET 2024 के हल प्रश्न प्रस्तुत करता है।
- REET 2024 में 2 प्रश्न
- कक्षा 8 स्तर
- 6 मिनट पढ़ें
REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है
REET 2024 में एक प्रश्न सीधे अवधारणा पर था — आयतचित्र में आयतों की ऊँचाई किसके समानुपाती होती है (उत्तर: बारंबारता), और दूसरा प्रश्न पाई चार्ट में दिए गए एक हिस्से (बचत 15% = ₹3,000) से कुल राशि और फिर दूसरे हिस्से (भोजन 25%) का मूल्य निकालने पर आधारित था। यानी यहाँ अवधारणा-आधारित और गणनात्मक — दोनों तरह के प्रश्न बनते हैं।
पाई चार्ट (वृत्त आरेख) क्या है
पाई चार्ट किसी आँकड़े के विभिन्न भागों को एक वृत्त के सेक्टरों (टुकड़ों) के रूप में दर्शाता है, जहाँ हर सेक्टर का कोण उस भाग के अनुपात के समानुपाती होता है। किसी मद का कोण ज्ञात करने का सूत्र है: सेक्टर कोण = (उस मद का मान ÷ कुल मान) × 360°।
पाई चार्ट बनाने के चरण: पहले सभी मदों का कुल योग ज्ञात करें, फिर हर मद का कोण उपरोक्त सूत्र से निकालें, और अंत में परकार व चांदे (protractor) की सहायता से वृत्त में सेक्टर बनाएँ। सभी सेक्टरों के कोणों का योग सदैव 360° होना चाहिए।
उदाहरण: कक्षा-सर्वेक्षण का पाई चार्ट
| पसंदीदा खेल | प्रतिशत | कोण |
|---|---|---|
| क्रिकेट | 40% | 144° |
| फुटबॉल | 25% | 90° |
| कबड्डी | 20% | 72° |
| अन्य | 15% | 54° |
जाँच: 40+25+20+15=100%, और 144+90+72+54=360° — दोनों योग सही आने चाहिए।
हल किया उदाहरण (REET 2024 आधारित)
पाई चार्ट में परिवार की मासिक बचत 15% दर्शाई गई है, जो ₹3,000 के बराबर है। कुल मासिक राशि = 3,000 × 100/15 = ₹20,000। भोजन पर व्यय 25% है, अतः भोजन पर व्यय = 20,000 का 25% = ₹5,000। ध्यान दें कि ₹20,000 कुल राशि है, भोजन का व्यय नहीं — यही गलती सबसे अधिक होती है।
आयतचित्र (Histogram) बनाम बार ग्राफ
आयतचित्र (Histogram)
आँकड़ों का प्रकारसंतत (continuous) वर्ग-अंतराल आँकड़े
आयतों के बीच स्थानकोई गैप नहीं (आसन्न)
चौड़ाई का अर्थवर्ग-अंतराल (class interval) के बराबर, अर्थपूर्ण
ऊँचाई किसके समानुपातीबारंबारता (समान वर्ग-अंतराल होने पर)
बार ग्राफ (Bar Graph)
आँकड़ों का प्रकारअसंतत (discrete) श्रेणीगत आँकड़े
आयतों के बीच स्थानप्रायः गैप होता है
चौड़ाई का अर्थमनमानी, कोई विशेष अर्थ नहीं
ऊँचाई किसके समानुपातीबारंबारता या मान
समान वर्ग-अंतराल वाले आयतचित्र में आयत की ऊँचाई सीधे बारंबारता के समानुपाती होती है — REET 2024 में यही पूछा गया था।[स्रोत 1]
असमान वर्ग-अंतराल की सावधानी
यदि आयतचित्र के सभी वर्ग-अंतराल समान न हों, तो आयत की ऊँचाई सीधे बारंबारता के बराबर नहीं ली जाती — इस स्थिति में 'बारंबारता घनत्व' (frequency density = बारंबारता ÷ वर्ग-अंतराल की चौड़ाई) के अनुसार ऊँचाई तय होती है, ताकि हर आयत का क्षेत्रफल उस वर्ग की वास्तविक बारंबारता के समानुपाती रहे।
बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon)
बारंबारता बहुभुज आयतचित्र से जुड़ा एक और आरेख है, जो प्रत्येक आयत के ऊपरी भाग के मध्य-बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर बनाया जाता है। इसे कभी-कभी आयतचित्र के बिना भी, वर्ग-चिह्नों (class marks) और बारंबारता के बिंदु आलेखित करके सीधे बनाया जा सकता है।
यह आरेख दो या अधिक समूहों के आँकड़ों की तुलना करने में विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि एक ही ग्राफ पर कई बहुभुज एक साथ खींचे जा सकते हैं, जबकि कई आयतचित्र एक साथ देखना कठिन होता है।
पाई चार्ट कब उपयुक्त है, हिस्टोग्राम कब
- पाई चार्ट के लिए उपयुक्त
- जब किसी कुल राशि के विभिन्न हिस्सों का अनुपात दिखाना हो — जैसे बजट, मत-विभाजन, बाज़ार हिस्सेदारी।
- हिस्टोग्राम के लिए उपयुक्त
- जब संतत वर्ग-अंतराल में बँटे आँकड़ों (जैसे विद्यार्थियों के अंक-वितरण, आयु-समूह) का वितरण दिखाना हो।
बच्चों को कैसे पढ़ाएँ
कक्षा गतिविधि
कक्षा 8 में विद्यार्थियों से कक्षा में सर्वेक्षण करवाएँ (जैसे पसंदीदा खेल या फल), फिर आँकड़े इकट्ठा कर स्वयं परकार व चांदे से पाई चार्ट बनवाएँ — इससे सेक्टर कोण निकालने का सूत्र व्यावहारिक रूप से समझ आता है।
शिक्षण सहायक सामग्री
रंगीन कागज़ के गोल टुकड़ों को मोड़कर या ग्राफ पेपर पर हिस्टोग्राम बनवाकर दिखाएँ कि आयतों में गैप क्यों नहीं होता, जबकि बार ग्राफ में गैप हो सकता है।
सामान्य भ्रांति
बच्चे अक्सर सोचते हैं पाई चार्ट के सभी हिस्से बराबर आकार के होने चाहिए, या हिस्टोग्राम और बार ग्राफ को एक ही समझ लेते हैं (गैप का अंतर भूल जाते हैं)। दोनों भ्रांतियाँ उदाहरण दिखाकर दूर करें।
आकलन विचार
विद्यार्थियों को स्वयं बनाए गए सर्वेक्षण डेटा से एक पाई चार्ट और एक हिस्टोग्राम दोनों बनवाकर तुलना करवाएँ कि किस स्थिति में कौन-सा आरेख बेहतर है।
अंतर-विषयक जोड़
सामाजिक विज्ञान की कक्षा में जनगणना या फसल-उत्पादन जैसे वास्तविक आँकड़ों से पाई चार्ट बनवाकर विषयों के बीच जुड़ाव दिखाएँ, ताकि आँकड़ों को पढ़ने का कौशल केवल गणित तक सीमित न रहे।
याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप
प्रतिशत को सीधे कोण (डिग्री) में बदलने के लिए प्रतिशत को 3.6 से गुणा करें (क्योंकि 360÷100=3.6) — जैसे 25% → 25×3.6=90°, 20% → 20×3.6=72°। यह ट्रिक 'कुल का 100% = 360°' वाली लंबी गणना से कहीं तेज़ है।
REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)
प्रश्न 92
आयतचित्र में आयतों की ऊँचाइयाँ उन वर्गों की होती हैं :
- Aबारम्बारताओं के व्युत्क्रमानुपाती
- Bबारम्बारताओं के समानुपाती
- Cवर्ग-अन्तराल के समानुपाती
- Dवर्ग-अन्तराल के व्युत्क्रमानुपाती
व्याख्या
आयतचित्र (histogram) में प्रत्येक वर्ग के लिए एक आयत बनाया जाता है जिसकी चौड़ाई वर्ग-अन्तराल के बराबर होती है। समान वर्ग-अन्तराल होने पर आयतों की ऊँचाई उन वर्गों की बारम्बारताओं (frequencies) के समानुपाती होती है। जिस वर्ग की बारम्बारता अधिक, उसका आयत उतना ही ऊँचा होता है, इसलिए (B) सही है।
प्रश्न 97
दिया गया पाई चार्ट एक परिवार के एक माह में बचत तथा विभिन्न मदों पर व्यय दर्शाता है । यदि परिवार की मासिक बचत 3,000 रुपये हो तो भोजन पर व्यय होगा
चित्र: Pie chart of a family's monthly budget: Food 25 percent, Clothes 10 percent, Savings 15 percent, Others 20 percent, Transport 5 percent, Rent 10 percent, Education 15 percent. Diagram added and verified: savings of Rs 3000 at 15 percent gives a total of Rs 20000, so food at 25 percent is Rs 5000, matching the stored answer.
- A2,500 रुपये
- B3,000 रुपये
- C5,000 रुपये
- D20,000 रुपये
व्याख्या
पाई चार्ट में बचत 15% है, जो 3,000 रुपये के बराबर है। अतः कुल मासिक राशि = 3,000 × 100/15 = 20,000 रुपये। भोजन पर व्यय 25% है, इसलिए भोजन पर व्यय = 20,000 का 25% = 5,000 रुपये। 20,000 रुपये कुल राशि है, भोजन का व्यय नहीं।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
पाई चार्ट में पूरा वृत्त कितने अंश (डिग्री) का होता है?
- A180°
- B270°
- C360°
- D100°
व्याख्या
किसी भी वृत्त का पूरा कोण 360° होता है।
प्रश्न 2
यदि किसी मद का मान कुल का 25% है, तो पाई चार्ट में उसका कोण कितना होगा?
- A60°
- B75°
- C90°
- D100°
व्याख्या
25% × 360° = 90° (या 25×3.6=90)।
प्रश्न 3
आयतचित्र (histogram) में आसन्न आयतों के बीच सामान्यतः :
- Aगैप (space) होता है
- Bकोई गैप नहीं होता
- Cसदैव बराबर ऊँचाई होती है
- Dसदैव त्रिभुजाकार आकार होता है
व्याख्या
आयतचित्र संतत (continuous) वर्ग-अंतराल आँकड़ों को दर्शाता है, इसलिए इसके आयतों के बीच कोई गैप नहीं होता।
प्रश्न 4
बार ग्राफ और आयतचित्र में मुख्य अंतर है :
- Aबार ग्राफ असंतत श्रेणीगत आँकड़ों हेतु, आयतचित्र संतत वर्ग-अंतराल आँकड़ों हेतु प्रयुक्त होता है
- Bदोनों बिल्कुल समान हैं
- Cआयतचित्र केवल वृत्त में बनता है
- Dबार ग्राफ में गैप कभी नहीं होता
व्याख्या
बार ग्राफ श्रेणीगत (categorical) आँकड़ों के लिए और आयतचित्र संतत वर्ग-अंतराल आँकड़ों के लिए बनाया जाता है — यही मूल अंतर है।
प्रश्न 5
एक पाई चार्ट में किसी मद का कोण 72° है। कुल का यह मद कितने प्रतिशत दर्शाता है?
- A15%
- B20%
- C25%
- D30%
व्याख्या
प्रतिशत=(72÷360)×100=20%।
प्रश्न 6
एक परिवार के मासिक बजट के पाई चार्ट में 'शिक्षा' पर व्यय 18% दर्शाया गया है। यदि परिवार की कुल मासिक आय ₹25,000 है, तो शिक्षा पर व्यय कितना है?
- A₹3,500
- B₹4,000
- C₹4,500
- D₹5,000
व्याख्या
18% का 25,000 = 25,000×18/100 = ₹4,500।
प्रश्न 7
एक पाई चार्ट में चार मदों A, B, C, D के कोण क्रमशः 90°, 120°, 60° तथा शेष हैं। D का कोण क्या होगा?
- A60°
- B80°
- C90°
- D100°
व्याख्या
कुल कोण=360°; A+B+C=90+120+60=270°; D=360−270=90°।
प्रश्न 8
आयतचित्र में किसी आयत की चौड़ाई किसके बराबर होती है?
- Aबारंबारता
- Bवर्ग-अंतराल (class interval)
- Cमाध्य
- Dसंचयी बारंबारता
व्याख्या
आयतचित्र में प्रत्येक आयत की चौड़ाई उस वर्ग के वर्ग-अंतराल के बराबर होती है।
प्रश्न 9
समान वर्ग-अंतराल वाले आयतचित्र में आयत की ऊँचाई किसके समानुपाती होती है?
- Aवर्ग-अंतराल
- Bबारंबारता
- Cसंचयी बारंबारता
- Dमाध्यिका
व्याख्या
समान वर्ग-अंतराल होने पर आयत की ऊँचाई सीधे उस वर्ग की बारंबारता के समानुपाती होती है।
प्रश्न 10
कक्षा 8 में विद्यार्थियों को पाई चार्ट बनाना सिखाने के लिए सबसे उपयुक्त गतिविधि कौन-सी है?
- Aकक्षा में सर्वेक्षण (जैसे पसंदीदा खेल) कराकर परकार व चांदे से स्वयं पाई चार्ट बनवाना
- Bकेवल पाठ्यपुस्तक में बना चार्ट दिखाना
- Cबिना गणना के अनुमान से सेक्टर बनवाना
- Dयह गतिविधि केवल शिक्षक द्वारा करना
व्याख्या
सर्वेक्षण से डेटा इकट्ठा कर स्वयं गणना करके पाई चार्ट बनाने से विद्यार्थी सेक्टर-कोण सूत्र और निर्माण प्रक्रिया दोनों गहराई से सीखते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
REET में पाई चार्ट-आयतचित्र से कितने प्रश्न आते हैं?+
REET 2024 में इस टॉपिक से गणित खंड में 1–2 प्रश्न पूछे गए, एक अवधारणा-आधारित और एक गणनात्मक था।
पाई चार्ट में सेक्टर कोण कैसे निकालें?+
सूत्र: सेक्टर कोण = (उस मद का मान ÷ कुल मान) × 360°। तेज़ तरीका: प्रतिशत को 3.6 से गुणा करें।
आयतचित्र और बार ग्राफ में मुख्य अंतर क्या है?+
आयतचित्र संतत वर्ग-अंतराल आँकड़ों के लिए बनता है और आयतों में गैप नहीं होता, जबकि बार ग्राफ असंतत श्रेणीगत आँकड़ों के लिए बनता है और उसमें गैप हो सकता है।
समान वर्ग-अंतराल वाले आयतचित्र में ऊँचाई किसके समानुपाती होती है?+
बारंबारता (frequency) के समानुपाती होती है — जितनी अधिक बारंबारता, उतना ऊँचा आयत।
बारंबारता बहुभुज (frequency polygon) क्या है?+
यह आयतचित्र के आयतों के ऊपरी मध्य-बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर बनाया गया आरेख है, जो कई समूहों के आँकड़ों की तुलना करने में उपयोगी होता है।
असमान वर्ग-अंतराल वाले आयतचित्र में ऊँचाई कैसे तय होती है?+
ऐसी स्थिति में ऊँचाई सीधे बारंबारता से नहीं, बल्कि बारंबारता घनत्व (बारंबारता ÷ वर्ग-अंतराल की चौड़ाई) से तय होती है।
पाई चार्ट में सभी सेक्टरों के कोणों का योग कितना होना चाहिए?+
पाई चार्ट में सभी सेक्टरों के कोणों का योग सदैव ठीक 360° होना चाहिए, क्योंकि यह पूरे वृत्त को दर्शाता है।
क्या हिस्टोग्राम में कक्षा-चिह्न (class mark) दिखाया जाता है?+
हिस्टोग्राम में सीधे कक्षा-चिह्न नहीं दिखाया जाता, पर बारंबारता बहुभुज बनाते समय हर आयत के मध्य-बिंदु के रूप में कक्षा-चिह्न का प्रयोग किया जाता है।
क्या पाई चार्ट में ऋणात्मक मान दिखाए जा सकते हैं?+
नहीं, पाई चार्ट केवल धनात्मक मानों के अनुपात को सेक्टरों में दिखाता है, क्योंकि किसी वृत्त के कोण या क्षेत्रफल का ऋणात्मक होना संभव नहीं है।
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आधिकारिक स्रोत
बदलाव लॉग
- 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए