अनुपात एवं समानुपात (Ratio and Proportion)
यह पेज REET परीक्षा के लिए अनुपात (ratio) और समानुपात (proportion) के सभी सूत्र, प्रकार और शब्द-समस्याएँ हल करने की विधि एक जगह देता है। अंकगणित खंड में हर वर्ष इससे शब्द-समस्या के रूप में प्रश्न पूछा जाता है।
- REET 2024 में 1 प्रश्न
- कक्षा 5–7 स्तर
- 8 मिनट पढ़ें
REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है
REET 2024 में इस टॉपिक से अनुपात पर आधारित एक शब्द-समस्या पूछी गई — जहाँ अनुपात के 'भागों' (parts) और दिए गए अंतर से चर (variable) निकालकर कुल संख्या ज्ञात करनी थी। पैटर्न सामान्य है: सीधे अनुपात सरल करने की बजाय, वास्तविक स्थिति से समीकरण बनाकर हल करना अपेक्षित होता है।
परिभाषा — अनुपात और समानुपात
अनुपात (Ratio) समान इकाई की दो राशियों की तुलना है, जिसे a : b के रूप में लिखते हैं। इसमें a को पूर्ववर्ती (antecedent) और b को अनुवर्ती (consequent) कहते हैं।
समानुपात (Proportion) दो अनुपातों की समानता है, जिसे a : b :: c : d लिखते हैं। इसमें a व d को चरम पद (extremes) और b व c को मध्य पद (means) कहते हैं। समानुपात की शर्त: चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल, अर्थात a × d = b × c — इसे तिर्यक गुणन (cross multiplication) कहते हैं।
संबंधित पद एवं सूत्र
- मध्यानुपाती (Mean proportional)
- यदि a : b = b : c हो, तो b मध्यानुपाती है; b² = a × c, अर्थात b = √(ac)
- तृतीयानुपाती (Third proportional)
- a : b = b : c में c को a, b का तृतीयानुपाती कहते हैं; c = b²/a
- चतुर्थानुपाती (Fourth proportional)
- a : b = c : d में d को चतुर्थानुपाती कहते हैं; d = (b × c) / a
- मिश्रित/संयुक्त अनुपात (Compounded ratio)
- a:b और c:d को मिलाने पर बना अनुपात ac : bd होता है
प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात
प्रत्यक्ष समानुपात (direct proportion) में एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में बढ़ती है (जैसे वस्तुओं की संख्या बढ़ने पर कुल मूल्य बढ़ना)। व्युत्क्रम समानुपात (inverse proportion) में एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटती है (जैसे कार्य करने वालों की संख्या बढ़ने पर समय घटना)। अनुपात के दोनों पदों को समान अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात का मान नहीं बदलता — यह अनुपात का मूल गुण है।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: दो संख्याएँ 5:7 के अनुपात में हैं और उनका योग 144 है। संख्याएँ ज्ञात करें। हल: माना संख्याएँ 5k और 7k हैं। 5k+7k=144 ⇒ 12k=144 ⇒ k=12। संख्याएँ = 60 और 84।
उदाहरण 2: A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4:5 है। 5 वर्ष बाद यह अनुपात 5:6 हो जाता है। वर्तमान आयु ज्ञात करें। हल: माना आयु 4x और 5x है। (4x+5)/(5x+5) = 5/6 ⇒ 6(4x+5)=5(5x+5) ⇒ 24x+30=25x+25 ⇒ x=5। अतः A की आयु 20 वर्ष और B की आयु 25 वर्ष है। जाँच: (20+5):(25+5) = 25:30 = 5:6 ✓।
प्रत्यक्ष-व्युत्क्रम अनुपात के व्यावहारिक उदाहरण
प्रत्यक्ष अनुपात का उदाहरण: यदि 5 कॉपियों का मूल्य ₹75 है, तो 8 कॉपियों का मूल्य क्या होगा? यहाँ कॉपी की संख्या बढ़ने पर मूल्य भी उसी अनुपात में बढ़ता है — 1 कॉपी = ₹15, अतः 8 कॉपी = ₹120।
व्युत्क्रम अनुपात का उदाहरण: यदि 6 मजदूर किसी कार्य को 10 दिन में पूरा करते हैं, तो 4 मजदूर उतना ही कार्य कितने दिन में पूरा करेंगे? यहाँ मजदूरों की संख्या घटने पर समय बढ़ता है — 6×10 = 4×दिन ⇒ दिन = 60/4 = 15 दिन। यह पहचान करना कि प्रश्न प्रत्यक्ष है या व्युत्क्रम, समानुपात की हर शब्द-समस्या की पहली सीढ़ी है।
तृतीयानुपाती का उदाहरण: 4 और 8 का तृतीयानुपाती ज्ञात करें। हल: यदि a:b = b:c है और a=4, b=8, तो c = b²/a = 64/4 = 16। अतः 4, 8 और 16 सतत समानुपात में हैं (4:8 = 8:16)।
चतुर्थानुपाती का उदाहरण: 2, 3 और 10 का चतुर्थानुपाती ज्ञात करें। हल: यदि a:b :: c:d है और a=2, b=3, c=10, तो d = (b×c)/a = (3×10)/2 = 15। अतः 2:3 :: 10:15 (जाँच: 2×15=30=3×10 ✓)।
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कक्षा गतिविधि
रंगीन गोटियों या पेंट के रंग मिलाने की गतिविधि से अनुपात दिखाएँ — जैसे 2 भाग नीला और 3 भाग पीला मिलाकर हरा रंग बनाना, फिर पूछना कि 10 भाग हरा बनाने के लिए कितना-कितना चाहिए।
शिक्षण सामग्री
अनुपात पट्टी (ratio strips/bar models) और भिन्न-अनुपात तुलना चार्ट उपयोगी हैं।
सामान्य भ्रांति
विद्यार्थी अक्सर अनुपात का क्रम (order) पलट देते हैं (जैसे 3:5 को 5:3 लिख देना) या 'कितना अधिक' और 'कितने गुना' में भ्रमित होते हैं। शब्द-समस्या में सबसे पहले किसे 'पहला पद' और किसे 'दूसरा पद' कहा गया है, यह स्पष्ट करना जरूरी है। कुछ विद्यार्थी अनुपात a:b को भिन्न a/b के बराबर तो मान लेते हैं, पर यह भूल जाते हैं कि अनुपात की तुलना केवल समान इकाई वाली राशियों में ही सार्थक होती है।
आकलन विचार
रसोई की रेसिपी (जैसे आटा:चीनी) या कक्षा में लड़के-लड़कियों की वास्तविक संख्या से अनुपात निकलवाकर समझ जाँचें। इसके अलावा नक़्शे के पैमाने (scale) जैसे वास्तविक जीवन उदाहरण से भी अनुपात की समझ मज़बूत होती है — जैसे 1 सेमी = 1 किमी के पैमाने पर दो शहरों की वास्तविक दूरी निकालना।
याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप
अनुपात की शब्द-समस्याओं में हमेशा अनुपात के प्रत्येक भाग को 'k' मानकर समीकरण बनाएँ (जैसे 3:5 को 3k, 5k मानना) — इससे दिया गया अंतर या योग तुरंत k के पद में बदल जाता है और उत्तर सीधे निकल आता है। अंत में उत्तर को मूल अनुपात में जाँचना (cross-check) न भूलें।
REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)
प्रश्न 117
एक कारखाने में स्त्री तथा पुरुष कर्मचारीयों का अनुपात 3 : 5 है यदि स्त्रियों की संख्या पुरुषों की संख्या से 40 कम हो, तो कारखाने में कुल कितने कर्मचारी है ?
- A60
- B160
- C100
- D200
व्याख्या
माना स्त्रियाँ 3k और पुरुष 5k हैं। अन्तर 5k − 3k = 2k = 40, अतः k = 20। कुल कर्मचारी = 8k = 160।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
45:60 को सरलतम रूप में लिखें।
- A3:4
- B4:5
- C9:12
- D5:4
व्याख्या
45 और 60 का HCF 15 है। दोनों पदों को 15 से भाग देने पर 45:60 = 3:4।
प्रश्न 2
यदि a:b = 2:3 और b:c = 4:5 है, तो a:b:c क्या होगा?
- A8:12:15
- B2:3:5
- C8:15:12
- D6:9:15
व्याख्या
b के मान को समान करने के लिए a:b=2:3 को 8:12 (×4) और b:c=4:5 को 12:15 (×3) बनाएँ। अतः a:b:c = 8:12:15।
प्रश्न 3
₹750 को A, B, C में 2:3:5 के अनुपात में बाँटा जाता है। B का हिस्सा कितना होगा?
- A₹225
- B₹150
- C₹375
- D₹250
व्याख्या
कुल भाग = 2+3+5 = 10। एक भाग = 750/10 = 75। B का हिस्सा = 3 × 75 = ₹225।
प्रश्न 4
यदि x:y = 3:4 है, तो (2x+3y):(3x+4y) क्या होगा?
- A18:25
- B9:16
- C6:7
- D3:4
व्याख्या
माना x=3k, y=4k। 2x+3y = 6k+12k = 18k। 3x+4y = 9k+16k = 25k। अनुपात = 18:25।
प्रश्न 5
4 और 25 के बीच मध्यानुपाती (mean proportional) क्या है?
- A10
- B14.5
- C100
- D20
व्याख्या
मध्यानुपाती = √(4×25) = √100 = 10।
प्रश्न 6
यदि a:b :: b:c है और a=9, c=25 है, तो b का मान क्या है (b धनात्मक)?
- A15
- B17
- C16
- D225
व्याख्या
b² = a×c = 9×25 = 225 ⇒ b = 15।
प्रश्न 7
एक विद्यालय में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 7:5 है। यदि लड़कों की संख्या 84 है, तो लड़कियों की संख्या कितनी है?
- A60
- B70
- C56
- D48
व्याख्या
7 भाग = 84 ⇒ 1 भाग = 12। लड़कियाँ = 5 × 12 = 60।
प्रश्न 8
दो संख्याएँ 3:4 के अनुपात में हैं। यदि दोनों में 4 जोड़ा जाए तो अनुपात 4:5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।
- A12 और 16
- B9 और 12
- C15 और 20
- D6 और 8
व्याख्या
माना संख्याएँ 3k, 4k। (3k+4)/(4k+4)=4/5 ⇒ 15k+20=16k+16 ⇒ k=4। संख्याएँ = 12, 16। जाँच: 16/20 = 4/5 ✓।
प्रश्न 9
एक रेसिपी में आटा और चीनी 5:2 के अनुपात में मिलाई जाती है। यदि 3 किग्रा चीनी उपयोग करनी है, तो कितना आटा चाहिए?
- A7.5 किग्रा
- B6 किग्रा
- C10 किग्रा
- D5 किग्रा
व्याख्या
चीनी के 2 भाग = 3 किग्रा ⇒ 1 भाग = 1.5 किग्रा। आटा = 5 × 1.5 = 7.5 किग्रा।
प्रश्न 10
अनुपात a:b में यदि दोनों पदों को समान अशून्य संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो अनुपात का मान:
- Aनहीं बदलता
- Bबदल जाता है
- Cदोगुना हो जाता है
- Dआधा हो जाता है
व्याख्या
यह अनुपात का मूल गुण है — जैसे 2:3, 4:6 और 6:9 सभी एक ही अनुपात दर्शाते हैं, अतः मान नहीं बदलता।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
REET में अनुपात-समानुपात से कितने प्रश्न आते हैं?+
आमतौर पर 1 प्रश्न इस टॉपिक से पूछा जाता है, प्रायः शब्द-समस्या के रूप में; REET 2024 में भी 1 प्रश्न आया था।
अनुपात और समानुपात में क्या अंतर है?+
अनुपात (ratio) दो राशियों की आपसी तुलना है (a:b), जबकि समानुपात (proportion) दो अनुपातों की आपसी समानता है (a:b :: c:d)।
मध्यानुपाती (mean proportional) कैसे निकालते हैं?+
यदि a:b = b:c है, तो मध्यानुपाती b = √(ac) से निकाला जाता है।
अनुपात के दोनों पदों को समान संख्या से गुणा/भाग करने पर क्या होता है?+
अनुपात का मान नहीं बदलता — जैसे 2:3 और 4:6 एक ही अनुपात दर्शाते हैं।
प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात में क्या अंतर है?+
प्रत्यक्ष अनुपात में दोनों राशियाँ साथ बढ़ती-घटती हैं (जैसे वस्तु व मूल्य), जबकि व्युत्क्रम अनुपात में एक बढ़ने पर दूसरी घटती है (जैसे कार्यकर्ता व समय)।
चतुर्थानुपाती (fourth proportional) कैसे निकाला जाता है?+
यदि a:b :: c:d है, तो d चतुर्थानुपाती है और d = (b×c)/a से निकाला जाता है — यह तिर्यक गुणन (cross multiplication) से सीधे प्राप्त होता है।
तृतीयानुपाती (third proportional) किसे कहते हैं?+
यदि a:b :: b:c है, तो c को a और b का तृतीयानुपाती कहते हैं, और इसे c = b²/a से निकाला जाता है।
संयुक्त/मिश्रित अनुपात (compounded ratio) कैसे निकाला जाता है?+
दो अनुपात a:b और c:d को मिलाने पर बना संयुक्त अनुपात ac:bd होता है — यानी दोनों अनुपातों के संगत पदों को आपस में गुणा किया जाता है।
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- 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए