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REET Level 1+2 · गणित

वर्ग एवं वर्गमूल (Squares & Square Roots) — REET गणित नोट्स

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वर्ग और वर्गमूल REET गणित में पूर्ण वर्ग संख्याओं की पहचान से लेकर सर्ड वर्गमूल तक फैला टॉपिक है। यह पेज सभी ज़रूरी गुण, विधियाँ और REET 2024 के हल प्रश्न एक जगह देता है।

  • REET 2024 में 2 प्रश्न
  • कक्षा 8 स्तर
  • 6 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 में इस टॉपिक से दो अलग तरह के प्रश्न आए — एक में दिए गए अंकों की संख्या (5 अंक) की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करनी थी, दूसरे में सर्ड (surd) के रूप में दी संख्या (7+4√3) का वर्गमूल निकालना था। यानी यहाँ केवल तालिका याद रखना काफी नहीं — अनुमान लगाने और सर्वसमिका के प्रयोग की क्षमता दोनों परखी जाती हैं।

1 से 20 तक के वर्ग

संख्यावर्गसंख्यावर्ग
1111121
2412144
3913169
41614196
52515225
63616256
74917289
86418324
98119361
1010020400

REET में गणना की गति के लिए 1–20 तक के वर्ग कंठस्थ होने चाहिए।[स्रोत 1]

पूर्ण वर्ग संख्याओं के गुण

किसी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक कभी भी 2, 3, 7 या 8 नहीं होता — यह पहचान बहुविकल्पीय प्रश्नों में सबसे तेज़ छानबीन का तरीका है। किसी संख्या के अंत में यदि सम संख्या में शून्य हों (जैसे 100, 10000), तभी वह पूर्ण वर्ग हो सकती है।

प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग सदैव n² के बराबर होता है — जैसे प्रथम 5 विषम संख्याओं (1+3+5+7+9) का योग 25 = 5² है। सम संख्या का वर्ग सम होता है और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।

REET 2024 के प्रश्न के अनुसार पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है और √99999 ≈ 316.2, अतः 316² = 99856 पाँच अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या है, क्योंकि 317² = 100489 छह अंकों की संख्या बन जाती है।

वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

अभाज्य गुणनखंड विधि में संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े में बाँटा जाता है — जैसे 324 = 2×2×3×3×3×3 = 2²×3⁴, अतः √324 = 2×9 = 18। यह विधि केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं के लिए काम करती है।

दीर्घ भाग विधि (long division method) किसी भी संख्या (दशमलव सहित) का वर्गमूल निकालने के लिए उपयोग होती है और REET में बड़ी संख्याओं के वर्गमूल के लिए यही मुख्य विधि है।

सर्ड के रूप में दिए गए वर्गमूल (जैसे 7+4√3) को (a+b)² = a²+2ab+b² के रूप में लिखकर हल किया जाता है। यहाँ (2+√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7+4√3, इसलिए 7+4√3 का वर्गमूल 2+√3 है।

दीर्घ भाग विधि का एक उदाहरण: √841 ज्ञात करने पर उत्तर 29 आता है, क्योंकि 29×29=841। यह विधि बिना गुणनखंड किए भी किसी भी संख्या (जैसे बड़ी या दशमलव संख्या) का वर्गमूल चरणबद्ध ढंग से निकाल देती है, इसलिए REET में सामान्य गणना अभ्यास के लिए भी उपयोगी है।

पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplet)

सूत्र
किसी भी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, 2m, m²−1, m²+1 एक पाइथागोरस त्रिक बनाते हैं।
उदाहरण (m=2)
2m=4, m²−1=3, m²+1=5 → त्रिक (3, 4, 5), जाँच: 3²+4²=9+16=25=5²।
उदाहरण (m=3)
2m=6, m²−1=8, m²+1=10 → त्रिक (6, 8, 10), जाँच: 6²+8²=36+64=100=10²।
उदाहरण (m=4)
2m=8, m²−1=15, m²+1=17 → त्रिक (8, 15, 17), जाँच: 8²+15²=64+225=289=17²।

वर्गमूल में अंकों की संख्या का अनुमान

किसी पूर्ण वर्ग संख्या में अंकों की संख्या से उसके वर्गमूल में अंकों की संख्या का अनुमान लगाया जा सकता है: यदि पूर्ण वर्ग संख्या में n अंक हों और n सम हो, तो वर्गमूल में n/2 अंक होंगे; यदि n विषम हो, तो वर्गमूल में (n+1)/2 अंक होंगे।

उदाहरण के लिए, 9 अंकों (विषम) की संख्या के वर्गमूल में (9+1)/2 = 5 अंक होंगे, जबकि 4 अंकों (सम) की संख्या के वर्गमूल में 4/2 = 2 अंक होंगे। यह नियम बड़ी संख्याओं के वर्गमूल का उत्तर विकल्पों में से जल्दी छाँटने में मदद करता है, बिना पूरी दीर्घ भाग विधि किए।

कुछ सामान्य अपरिमेय वर्गमूलों के अनुमानित मान

√2
लगभग 1.414
√3
लगभग 1.732
√5
लगभग 2.236
√7
लगभग 2.646

ये मान क्यों याद रखें

√2, √3, √5 जैसे अपरिमेय वर्गमूलों के अनुमानित दशमलव मान ज्यामिति (जैसे विकर्ण की लंबाई) और सर्ड को सरल करने वाले प्रश्नों में तेज़ी से अनुमान लगाने के काम आते हैं। इन्हें एक बार ठीक से याद कर लेने पर बहुविकल्पीय प्रश्नों में उत्तर को जल्दी परखा जा सकता है, विशेषकर जब सटीक हल की आवश्यकता न हो।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

कक्षा गतिविधि

कक्षा 8 में डॉट-ग्रिड या ग्राफ पेपर पर n×n बिंदुओं की वर्गाकार सज्जा बनवाएँ — 3×3, 4×4 आदि गिनकर बच्चे देखें कि वर्ग संख्या क्यों 'वर्गाकार' कहलाती है, इससे संख्या और आकृति का संबंध मूर्त बनता है।

शिक्षण सहायक सामग्री

1–20 तक वर्गों की चार्ट और रंगीन ग्राफ पेपर पर बनी वर्ग-आकृतियाँ कक्षा में लगाएँ, ताकि बच्चे बार-बार देखकर वर्ग-संख्याओं को याद रखें।

सामान्य भ्रांति

बच्चे अक्सर 'वर्ग' (square, यानी n²) और 'दोगुना' (2n) को गड़बड़ा देते हैं, या सोचते हैं हर संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है। उदाहरणों से दोनों भ्रांतियाँ बार-बार स्पष्ट करें।

आकलन विचार

किसी दी गई संख्या (जैसे 200) के निकटतम पूर्ण वर्ग ऊपर व नीचे दोनों खोजने का अभ्यास कराएँ — इससे अनुमान लगाने का कौशल विकसित होता है, जो REET जैसे प्रश्नों में सीधे काम आता है।

अंतर-विषयक जोड़

पाइथागोरस प्रमेय के व्यावहारिक उदाहरणों (जैसे सीढ़ी और दीवार की दूरी) से वर्ग-वर्गमूल को ज्यामिति से जोड़कर पढ़ाएँ, ताकि बच्चे इसका वास्तविक जीवन में उपयोग समझ सकें।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई अंक से उसके वर्गमूल का संभावित इकाई अंक तुरंत पता चल जाता है: इकाई अंक 1 का वर्गमूल इकाई अंक 1 या 9 में समाप्त होगा, इकाई अंक 4 का वर्गमूल 2 या 8 में, इकाई अंक 9 का वर्गमूल 3 या 7 में, इकाई अंक 6 का वर्गमूल 4 या 6 में, और इकाई अंक 5 का वर्गमूल 5 में — इससे विकल्पों में गलत उत्तर तुरंत छाँटे जा सकते हैं।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 115

पाँच अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या है :

  1. A10000
  2. B99586
  3. C99999
  4. D99856

व्याख्या

पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है और √99999 ≈ 316.2। अतः 316² = 99856 पाँच अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या है (317² = 100489 छह अंकों की है)। 10000 सबसे छोटी पाँच अंकीय पूर्ण वर्ग संख्या है।

प्रश्न 115

7 + 4√3 का वर्गमूल है

  1. A2 + √3
  2. B2 − √3
  3. C4 + 2√3
  4. D61 + 28√3

व्याख्या

(2 + √3)² = 2² + 2×2×√3 + (√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3। अतः 7 + 4√3 का वर्गमूल 2 + √3 है। (2 − √3)² = 7 − 4√3 होता है और (D) तो 7 + 4√3 का वर्ग है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

15² का मान क्या है?

  1. A205
  2. B215
  3. C225
  4. D235

व्याख्या

15×15=225।

प्रश्न 2

निम्नलिखित में से कौन पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है?

  1. A144
  2. B169
  3. C186
  4. D196

व्याख्या

144=12², 169=13², 196=14² — तीनों पूर्ण वर्ग हैं, परंतु 186 किसी भी पूर्णांक का वर्ग नहीं है (13²=169, 14²=196, बीच में 186 नहीं आता)।

प्रश्न 3

√225 का मान क्या है?

  1. A12
  2. B13
  3. C15
  4. D25

व्याख्या

15×15=225, अतः √225=15।

प्रश्न 4

किसी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक निम्न में से कभी नहीं हो सकता :

  1. A1
  2. B4
  3. C8
  4. D9

व्याख्या

पूर्ण वर्ग संख्याओं का इकाई अंक केवल 0,1,4,5,6,9 हो सकता है; 2,3,7,8 कभी नहीं।

प्रश्न 5

√(11 + 6√2) का मान क्या है?

  1. A3 + √2
  2. B3 − √2
  3. C2 + 3√2
  4. D9 + 2√2

व्याख्या

(3+√2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2, अतः 11+6√2 का वर्गमूल 3+√2 है।

प्रश्न 6

प्रथम 10 विषम प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

  1. A90
  2. B100
  3. C110
  4. D55

व्याख्या

प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है, अतः n=10 के लिए योग = 10²=100।

प्रश्न 7

निम्नलिखित में से कौन पाइथागोरस त्रिक नहीं है?

  1. A(3, 4, 5)
  2. B(6, 8, 10)
  3. C(5, 12, 13)
  4. D(4, 5, 7)

व्याख्या

4²+5²=16+25=41, जबकि 7²=49 — दोनों बराबर नहीं, अतः (4,5,7) पाइथागोरस त्रिक नहीं है। शेष तीनों त्रिक a²+b²=c² को संतुष्ट करते हैं।

प्रश्न 8

चार अंकों की सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या क्या है?

  1. A1000
  2. B1024
  3. C961
  4. D1089

व्याख्या

31²=961 (तीन अंकों की), 32²=1024 (चार अंकों की सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या)।

प्रश्न 9

एक वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 2116 वर्गमीटर है। बगीचे की एक भुजा की लंबाई क्या है?

  1. A44 मीटर
  2. B46 मीटर
  3. C48 मीटर
  4. D52 मीटर

व्याख्या

भुजा = √2116 = 46 मीटर, क्योंकि 46×46=2116।

प्रश्न 10

कक्षा 8 में वर्ग संख्याओं की अवधारणा को मूर्त रूप से समझाने के लिए सबसे उपयुक्त गतिविधि कौन-सी है?

  1. Aडॉट/ग्राफ पेपर पर n×n बिंदुओं की वर्गाकार सज्जा बनवाना
  2. Bकेवल सूत्र याद कराना
  3. Cपाठ्यपुस्तक के उदाहरण पढ़वाना
  4. Dकक्षा में केवल परीक्षा देना

व्याख्या

दृश्य व मूर्त सामग्री (dot arrays) से बच्चे वर्ग संख्या का ज्यामितीय अर्थ समझते हैं, जो रटने से कहीं अधिक प्रभावी और स्थायी सीख देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET में वर्ग-वर्गमूल से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से गणित खंड में 1–2 प्रश्न पूछे गए, जो अंकों की सीमा और सर्ड वर्गमूल पर आधारित थे।

पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक कौन-सा नहीं हो सकता?+

किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 कभी नहीं होता।

वर्गमूल ज्ञात करने की मुख्य विधियाँ कौन-सी हैं?+

अभाज्य गुणनखंड विधि और दीर्घ भाग (long division) विधि — दोनों REET स्तर पर पूछी जा सकती हैं।

पाइथागोरस त्रिक क्या होता है?+

तीन धनात्मक पूर्णांक (a, b, c) जो a²+b²=c² को संतुष्ट करें, पाइथागोरस त्रिक कहलाते हैं — जैसे (3,4,5) या (6,8,10)।

√2 का अनुमानित मान क्या है?+

√2 का अनुमानित मान 1.414 है — यह एक अपरिमेय संख्या है, जिसका पूर्ण दशमलव विस्तार कभी समाप्त या दोहराव में नहीं आता।

क्या हर संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है?+

नहीं, केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं (जैसे 4, 9, 16) का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है; अन्य संख्याओं का वर्गमूल अपरिमेय (जैसे √2, √3) होता है।

क्या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक होता है?+

नहीं, किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्याओं (real numbers) में परिभाषित नहीं होता, क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

क्या वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे की व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं?+

हाँ, यदि a²=b है, तो धनात्मक मूल के लिए √b=a होता है — जैसे 12²=144 है, इसलिए √144=12। दोनों संक्रियाएँ एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।

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आधिकारिक स्रोत

  1. NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)
  2. राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (BSER) — REET आधिकारिक जानकारी

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए