घन एवं घनमूल (Cubes & Cube Roots) — REET गणित नोट्स
घन और घनमूल REET गणित में हार्डी-रामानुजन संख्या जैसे रोचक तथ्यों के साथ-साथ भिन्नों के घनमूल जैसी सीधी गणना भी शामिल करता है। यह पेज दोनों पक्षों को हल किए उदाहरणों के साथ स्पष्ट करता है।
- REET 2024 में 2 प्रश्न
- कक्षा 8 स्तर
- 6 मिनट पढ़ें
REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है
REET 2024 में एक प्रश्न भिन्न (7/875) को सरल करके उसका घनमूल निकालने पर था, और दूसरा प्रश्न प्रसिद्ध हार्डी-रामानुजन संख्या 1729 की विशेषता पर आधारित तथ्यात्मक प्रश्न था। यानी यहाँ सीधी गणना के साथ-साथ कुछ रोचक संख्या-तथ्य भी याद रखने ज़रूरी हैं।
1 से 15 तक के घन
| संख्या | घन | संख्या | घन |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 9 | 729 |
| 2 | 8 | 10 | 1000 |
| 3 | 27 | 11 | 1331 |
| 4 | 64 | 12 | 1728 |
| 5 | 125 | 13 | 2197 |
| 6 | 216 | 14 | 2744 |
| 7 | 343 | 15 | 3375 |
| 8 | 512 |
REET में गणना की गति के लिए 1–12 तक के घन याद रखना उपयोगी है।[स्रोत 1]
घनों के इकाई अंक का पैटर्न
प्रत्येक अंक (0–9) के घन का इकाई अंक निश्चित रहता है — 1³=1, 2³=8, 3³=27(→7), 4³=64(→4), 5³=125(→5), 6³=216(→6), 7³=343(→3), 8³=512(→2), 9³=729(→9), 0³=0। ध्यान दें कि 2 और 8, तथा 3 और 7 का इकाई अंक घन में आपस में बदल जाता है — यह पैटर्न घनमूल जल्दी निकालने में मदद करता है।
घनमूल ज्ञात करने के लिए संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक (triple) में बाँटा जाता है — जैसे 1728 = 2⁶×3³ = (2²×3)³ = 12³, अतः ∛1728 = 12।
इस पैटर्न का एक और उपयोग: यदि किसी बड़ी पूर्ण घन संख्या का इकाई अंक 7 है, तो उसका घनमूल इकाई अंक 3 पर समाप्त होगा — जैसे 2197 का इकाई अंक 7 है, अतः घनमूल का इकाई अंक 3 होगा, और वास्तव में ∛2197=13, क्योंकि 13³=2197।
हल किया उदाहरण: भिन्न का घनमूल
REET 2024 के प्रश्न में ∛(7/875) पूछा गया था। पहले 875 को गुणनखंडित करें: 875 = 125×7 = 5³×7, अतः 7/875 = 7/(5³×7) = 1/5³ = 1/125। अब 1/125 का घनमूल = 1/5, क्योंकि 5³=125।
इसी तरह की गणना दशमलव संख्याओं पर भी लागू होती है — जैसे ∛(0.008) ज्ञात करने के लिए 0.008 = 8/1000 = 2³/10³ लिखें, अतः ∛0.008 = 2/10 = 0.2। भिन्न या दशमलव को पहले सरलतम रूप में लिखना घनमूल निकालने का सबसे भरोसेमंद तरीका है।
ऋणात्मक संख्याओं का घनमूल भी वास्तविक होता है। उदाहरण: ∛(−216) ज्ञात करें। चूँकि 216=6³, और ऋणात्मक संख्या का घनमूल ऋणात्मक होता है, अतः ∛(−216)=−6, क्योंकि (−6)³=−216।
हार्डी-रामानुजन संख्या और घनों का योग
- हार्डी-रामानुजन संख्या
- 1729 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग प्रकार से लिखा जा सकता है: 1729 = 1³+12³ = 9³+10³।
- जाँच
- 1³+12³ = 1+1728 = 1729; 9³+10³ = 729+1000 = 1729 — दोनों बराबर हैं।
- प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग
- सूत्र: [n(n+1)/2]²। उदाहरण: n=5 के लिए योग = (5×6/2)² = 15² = 225।
- एक और उदाहरण
- 4104 भी दो घनों के योग के रूप में दो प्रकार से लिखी जा सकती है: 4104 = 2³+16³ = 9³+15³।
घन और आयतन — व्यावहारिक संबंध
घन (cube) संख्या का सीधा संबंध घनाकार (cube-shaped) वस्तु के आयतन से है — किसी घनाकार डिब्बे या ब्लॉक का आयतन = भुजा³ होता है। यह ज्यामिति और गणित के बीच घन-संख्या को जोड़ने वाला सबसे स्वाभाविक उदाहरण है।
उदाहरण के लिए, यदि किसी घनाकार बक्से की भुजा 5 सेंटीमीटर है, तो उसका आयतन = 5³ = 125 घन सेंटीमीटर होगा। इसी तरह, यदि किसी घनाकार टंकी का आयतन 216 घन मीटर है, तो उसकी भुजा = ∛216 = 6 मीटर होगी। REET में इस तरह के व्यावहारिक प्रश्न ज्यामिति और घनमूल दोनों को जोड़कर पूछे जा सकते हैं।
घनों से जुड़ी एक उपयोगी सर्वसमिका
- सर्वसमिका
- a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
- जाँच (a=1,b=2,c=3)
- बायाँ पक्ष: 1+8+27−3×1×2×3=36−18=18। दायाँ पक्ष: (1+2+3)(1+4+9−2−6−3)=6×3=18 — दोनों बराबर।
- विशेष स्थिति
- यदि a+b+c=0 हो, तो a³+b³+c³=3abc — यह परिणाम उच्च कक्षाओं में बीजगणित के प्रश्नों में उपयोगी होता है।
बच्चों को कैसे पढ़ाएँ
कक्षा गतिविधि
कक्षा 8 में यूनिट क्यूब (इकाई घन) ब्लॉकों से 1³, 2³, 3³ आकार के घन मॉडल भौतिक रूप से बनवाएँ — बच्चे गिनकर देखें कि 2×2×2=8 और 3×3×3=27 ब्लॉक क्यों लगते हैं, इससे 'घन' शब्द का वास्तविक अर्थ स्पष्ट होता है।
शिक्षण सहायक सामग्री
1–12 तक घनों की चार्ट और इकाई-अंक पैटर्न तालिका कक्षा में लगाएँ, ताकि बच्चे तेज़ी से घनमूल का अनुमान लगाना सीखें।
सामान्य भ्रांति
बच्चे अक्सर 'घन' (cube, n³) को '3 से गुणा' (3n) समझ बैठते हैं। भौतिक ब्लॉक मॉडल से यह भ्रांति सबसे प्रभावी ढंग से दूर होती है।
आकलन विचार
दी गई सूची में से पूर्ण घन संख्याएँ छाँटने का अभ्यास कराएँ, और पूछें कि प्रत्येक का घनमूल इकाई-अंक पैटर्न से कैसे तुरंत पता चलता है।
अंतर-विषयक जोड़
विज्ञान की कक्षा में घनाकार बर्तन या डिब्बे के आयतन की गणना के साथ घन-संख्या को जोड़कर पढ़ाएँ — इससे गणित और विज्ञान दोनों विषयों में सीख मज़बूत होती है और बच्चे अवधारणा को अलग-थलग नहीं, बल्कि जुड़ी हुई समझते हैं।
याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप
किसी बड़ी पूर्ण घन संख्या का घनमूल तुरंत निकालने के लिए संख्या को दायें से 3-3 अंकों के समूह में बाँटें। दायें समूह के इकाई अंक से घनमूल का इकाई अंक (पैटर्न तालिका से) मिल जाता है, और बायें समूह से घनमूल का दहाई अंक अनुमानित होता है — जैसे 1728 में दायाँ समूह '728' (इकाई अंक 8 → घनमूल इकाई अंक 2) और बायाँ भाग '1' (1³=1 से छोटा अगला 2³=8, तो दहाई अंक 1), अतः घनमूल = 12।
REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)
प्रश्न 120
∛(7/875) का मान है :
- A1/15
- B1/4
- C1/7
- D1/5
व्याख्या
7/875 को सरल करने पर 875 = 7 × 125, अतः 7/875 = 1/125। 1/125 का घनमूल = 1/5, क्योंकि 5³ = 125। इसलिए (D) सही है।
प्रश्न 96
निम्न में से सबसे छोटी संख्या जिसे दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है
- A1729
- B1728
- C1331
- D1332
व्याख्या
1729 को 'हार्डी–रामानुजन संख्या' कहते हैं: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³। यह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकार से लिखा जा सकता है। 1728 = 12³ और 1331 = 11³ स्वयं पूर्ण घन हैं।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
6³ का मान क्या है?
- A196
- B206
- C216
- D226
व्याख्या
6×6×6=216।
प्रश्न 2
∛343 का मान क्या है?
- A6
- B7
- C8
- D9
व्याख्या
7×7×7=343, अतः ∛343=7।
प्रश्न 3
निम्नलिखित में से कौन पूर्ण घन संख्या नहीं है?
- A125
- B216
- C300
- D512
व्याख्या
125=5³, 216=6³, 512=8³ पूर्ण घन हैं, परंतु 300 किसी पूर्णांक का घन नहीं है (6³=216, 7³=343, बीच में 300 नहीं आता)।
प्रश्न 4
यदि किसी पूर्ण घन संख्या का इकाई अंक 2 है, तो उस मूल संख्या (जिसका घन लिया गया) का इकाई अंक क्या होगा?
- A2
- B4
- C8
- D9
व्याख्या
घन-इकाई-अंक पैटर्न के अनुसार 8³=512 (इकाई अंक 2 देता है), अतः मूल संख्या का इकाई अंक 8 होगा।
प्रश्न 5
2³ + 3³ + 4³ का मान क्या है?
- A89
- B99
- C109
- D72
व्याख्या
8+27+64=99।
प्रश्न 6
प्रथम 4 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग क्या है?
- A90
- B100
- C110
- D64
व्याख्या
सूत्र [n(n+1)/2]² से n=4: (4×5/2)²=10²=100। जाँच: 1+8+27+64=100।
प्रश्न 7
∛(0.027) का मान क्या है?
- A0.3
- B0.03
- C3
- D0.9
व्याख्या
0.3×0.3×0.3=0.027, अतः ∛0.027=0.3।
प्रश्न 8
∛(64/729) का मान क्या है?
- A8/27
- B4/9
- C2/3
- D16/81
व्याख्या
64=4³ और 729=9³, अतः ∛(64/729) = 4/9।
प्रश्न 9
72 को कम से कम किस संख्या से गुणा किया जाए कि गुणनफल पूर्ण घन संख्या बन जाए?
- A2
- B3
- C6
- D9
व्याख्या
72=2³×3²। घन बनाने के लिए 3² को 3³ बनाना होगा, यानी एक और 3 चाहिए। 72×3=216=6³।
प्रश्न 10
कक्षा 8 में घन संख्याओं को मूर्त रूप से समझाने के लिए सबसे उपयुक्त शिक्षण सहायक सामग्री कौन-सी है?
- Aयूनिट क्यूब (इकाई घनों) से n×n×n आकार के घन मॉडल बनवाना
- Bकेवल सूत्र बोर्ड पर लिखना
- Cघर पर स्वयं पढ़ने के लिए छोड़ देना
- Dकेवल मौखिक व्याख्या देना
व्याख्या
भौतिक इकाई-घन ब्लॉकों से मॉडल बनवाना बच्चों को 'घन' की त्रि-आयामी अवधारणा प्रत्यक्ष रूप से समझने में सबसे प्रभावी सिद्ध होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
REET में घन-घनमूल से कितने प्रश्न आते हैं?+
REET 2024 में इस टॉपिक से गणित खंड में 1–2 प्रश्न पूछे गए, जो भिन्न के घनमूल और हार्डी-रामानुजन संख्या पर आधारित थे।
हार्डी-रामानुजन संख्या क्या है?+
1729 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है: 1³+12³ और 9³+10³।
घनमूल ज्ञात करने की मुख्य विधि क्या है?+
अभाज्य गुणनखंड विधि, जिसमें संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक (समूह में तीन-तीन) में बाँटा जाता है।
प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों के योग का सूत्र क्या है?+
[n(n+1)/2]² — यानी प्रथम n संख्याओं के योग का वर्ग।
घन और घनमूल में क्या संबंध है?+
घनमूल, घन की व्युत्क्रम (inverse) संक्रिया है — यदि a³=b है, तो ∛b=a। दोनों संक्रियाएँ एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।
क्या हर संख्या का घनमूल पूर्ण संख्या होता है?+
नहीं, केवल पूर्ण घन संख्याओं (जैसे 8, 27, 64) का घनमूल पूर्ण संख्या होता है; अन्य संख्याओं का घनमूल अपरिमेय हो सकता है।
क्या ऋणात्मक संख्या का घनमूल संभव है?+
हाँ, वर्गमूल के विपरीत, ऋणात्मक संख्या का घनमूल भी वास्तविक होता है — जैसे ∛(−8) = −2, क्योंकि (−2)³ = −8।
पूर्ण घन जाँचने का तेज़ तरीका क्या है?+
संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें — यदि हर अभाज्य गुणनखंड की घात 3 का गुणज (3, 6, 9...) हो, तो संख्या पूर्ण घन है।
क्या 1 और 0 पूर्ण घन संख्याएँ हैं?+
हाँ, 1³=1 और 0³=0 होने के कारण दोनों को पूर्ण घन संख्या माना जाता है — ये सबसे छोटी दो पूर्ण घन संख्याएँ हैं।
घन और वर्ग में क्या मूल अंतर है?+
वर्ग (n²) किसी संख्या को स्वयं से एक बार गुणा करने पर मिलता है, जबकि घन (n³) उसी संख्या को स्वयं से दो बार गुणा करने पर मिलता है — यानी घन में एक गुणा अधिक होता है।
क्या 1729 के अलावा भी ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो घनों के योग के रूप में दो तरीकों से लिखा जा सकता है?+
हाँ, ऐसी संख्याओं को टैक्सीकैब संख्या (taxicab number) कहते हैं। 1729 सबसे छोटी ऐसी संख्या है, और 4104 (=2³+16³=9³+15³) अगली ऐसी संख्या है।
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आधिकारिक स्रोत
बदलाव लॉग
- 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए