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REET L1+L2 · गणित

आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling)

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REET गणित में आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling) टॉपिक सारणी, दंड आलेख (bar graph) पढ़ने और माध्य-माध्यिका-बहुलक-परिसर की परिभाषाओं पर आधारित सरल पर सटीक प्रश्न देता है। यहाँ सभी परिभाषाएँ, सूत्र और आलेख पढ़ने के तरीके एक जगह हैं।

  • REET 2024 में 4 प्रश्न
  • कक्षा 6-7 स्तर
  • 8 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 के चारों प्रश्न सीधे परिभाषा और बुनियादी पठन-कौशल पर आधारित थे — 'सारणीयन' किसे कहते हैं, 'परिसर' की परिभाषा, निर्देशांक तल पर x-अक्ष पर स्थित बिंदु पहचानना, और दिए गए दंड आलेख से सीधे आँकड़ा पढ़ना। यानी यह टॉपिक गणना से ज़्यादा शब्दावली और आलेख/तालिका सही ढंग से पढ़ने की क्षमता जाँचता है, इसलिए परिभाषाओं को अच्छी तरह याद रखने से इस टॉपिक के लगभग सभी अंक पक्के किए जा सकते हैं। अभ्यास के लिए हमेशा असली आँकड़ों (कक्षा की उपस्थिति, अंकतालिका, मौसम) पर काम करें, ताकि परीक्षा में दिया गया कोई भी नया आलेख या सारणी सहजता से पढ़ी जा सके।

कच्चे आँकड़े से सारणी तक

जब कोई जानकारी बिना क्रम के इकट्ठा की जाती है, तो उसे कच्चे आँकड़े (Raw data) कहते हैं। इन्हें व्यवस्थित करने के लिए मिलान चिह्न (Tally marks) का प्रयोग किया जाता है — हर मान को एक खड़ी रेखा से दर्शाया जाता है, और पाँचवें मान पर पहले चार खड़ी रेखाओं पर एक तिरछी रेखा खींचकर समूह पूरा किया जाता है (5 का समूह)।

आँकड़ों को स्तम्भों (columns) और पंक्तियों (rows) में क्रमबद्ध रूप से प्रस्तुत करने की प्रक्रिया को सारणीयन (Tabulation) कहते हैं। किसी मान के आने की संख्या को उसकी बारम्बारता (Frequency) कहते हैं।

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप एवं परिसर

मापपरिभाषा / सूत्र
माध्य (Mean)सभी प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या
माध्यिका (Median)आँकड़ों को क्रम में रखने पर बीच का मान (सम संख्या होने पर दोनों मध्य मानों का माध्य)
बहुलक (Mode)सबसे अधिक बार आने वाला मान
परिसर (Range)महत्तम मान − न्यूनतम मान

दंड आलेख (Bar Graph) पढ़ना

दंड आलेख में सभी दंडों (bars) की चौड़ाई समान होती है और दंडों के बीच का अंतर भी समान रखा जाता है — केवल दंड की ऊँचाई या लंबाई आँकड़े के मान के अनुपात में बदलती है। आमतौर पर एक अक्ष पर श्रेणियाँ (categories) और दूसरे अक्ष पर मान (value/frequency) दिखाए जाते हैं।

आलेख पढ़ते समय सबसे पहले दोनों अक्षों पर दिया गया पैमाना (scale) देखें, फिर सबसे ऊँचे और सबसे छोटे दंड की पहचान करें और आवश्यकतानुसार तुलना करें।

निर्देशांक तल की बुनियादी बात

x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का रूप
(x, 0) — यानी y-निर्देशांक सदैव शून्य होता है
y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का रूप
(0, y) — यानी x-निर्देशांक सदैव शून्य होता है
मूलबिंदु (Origin)
(0, 0)

चित्रालेख, दंड आलेख और पाई चार्ट में अंतर

चित्रालेख (Pictograph) आँकड़ों को दर्शाने का सबसे सरल तरीका है, जिसमें किसी वस्तु के चित्र या चिह्न से एक निश्चित मात्रा दर्शाई जाती है (जैसे एक 🚗 चिह्न = 10 गाड़ियाँ)। दंड आलेख (Bar graph) में यही जानकारी समान चौड़ाई के आयताकार दंडों की ऊँचाई से दिखाई जाती है, जो पढ़ने में अधिक सटीक होती है।

पाई चार्ट (Pie chart) एक वृत्त को विभिन्न भागों में बाँटकर कुल का हर भाग (हिस्सा) दिखाता है — पूरे वृत्त का कोण 360° होता है, और हर श्रेणी का कोण उसके अनुपात के अनुसार निकाला जाता है। यह टॉपिक अगले पेज (पाई चार्ट एवं आयतचित्र) में विस्तार से पढ़ाया गया है।

बारंबारता बंटन से माध्य निकालने का सूत्र और उदाहरण

जब आँकड़े बारंबारता बंटन (Frequency distribution) के रूप में दिए हों, तो माध्य = Σ(f × x) ÷ Σf से निकाला जाता है, जहाँ f बारंबारता और x मान है। किसी वर्ग तक की सभी बारंबारताओं के चलते हुए योग को संचयी बारंबारता (Cumulative frequency) कहते हैं।

उदाहरण: किसी कक्षा में 4 विद्यार्थियों को 5 अंक, 6 विद्यार्थियों को 6 अंक और 5 विद्यार्थियों को 7 अंक मिले। Σ(f × x) = (4×5) + (6×6) + (5×7) = 20 + 36 + 35 = 91, और Σf = 4 + 6 + 5 = 15। माध्य = 91 ÷ 15 ≈ 6.07। इस विधि से बड़े आँकड़ों का माध्य बिना हर मान को अलग-अलग जोड़े, तेज़ी से निकाला जा सकता है — यही सारणीयन का मुख्य लाभ है।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

कक्षा गतिविधि

कक्षा में विद्यार्थियों से उनका पसंदीदा फल या खेल पूछकर वास्तविक आँकड़े इकट्ठा कराएँ, मिलान चिह्नों से सारणी बनवाएँ, और फिर ग्राफ पेपर पर स्वयं दंड आलेख बनवाएँ। बाद में उसी आँकड़े से माध्य, माध्यिका, बहुलक और परिसर भी निकलवाएँ ताकि पूरी प्रक्रिया जुड़ जाए।

शिक्षण सहायक सामग्री

ग्राफ पेपर, रंगीन ब्लॉक/चार्ट पेपर से भौतिक दंड आलेख बनवाना — जैसे हर बच्चा किसी श्रेणी के आगे कतार में खड़ा होकर 'मानव दंड आलेख' (human bar graph) बना सकता है। रंगीन गोटियों या बीजों से चित्रालेख भी बनवाया जा सकता है।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर माध्य और माध्यिका को एक ही समझ लेते हैं, और बहुलक निकालते समय सबसे बड़ी संख्या को बहुलक मान लेते हैं — जबकि बहुलक वह है जो सबसे अधिक बार दोहराया गया हो, भले ही वह संख्या में छोटा हो। कुछ बच्चे सम संख्या में आँकड़े होने पर माध्यिका के लिए केवल एक बीच का मान चुन लेते हैं, दोनों का औसत नहीं निकालते।

मूल्यांकन विचार

विद्यालय की उपस्थिति रजिस्टर या किसी अखबार की तालिका से वास्तविक आँकड़े देकर उनसे माध्य, परिसर और बहुलक निकलवाएँ, और यह भी पूछें कि किस स्थिति में कौन-सा माप (माध्य/माध्यिका/बहुलक) सबसे उपयुक्त प्रतिनिधि होगा।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

बहुलक (Mode) को कभी महत्तम मान (सबसे बड़ी संख्या) समझने की गलती न करें — बहुलक वह मान है जो आँकड़ों में सबसे ज़्यादा बार दोहराया गया हो, चाहे वह संख्या में सबसे छोटा ही क्यों न हो। इसी तरह सारणी बनाते समय हमेशा शीर्षक, स्तम्भों के नाम और स्रोत स्पष्ट रूप से लिखें, ताकि आँकड़े बिना किसी अतिरिक्त स्पष्टीकरण के समझ में आ सकें।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 96

आँकड़ों को स्तम्भों और पंक्तियों में क्रमबद्ध रूप में प्रस्तुत करने की व्यवस्था को कहते हैं

  1. Aसारणीयन
  2. Bमध्यमान
  3. Cदण्ड आरेख
  4. Dमाध्यिका

व्याख्या

आँकड़ों को स्तम्भों (columns) और पंक्तियों (rows) में क्रमबद्ध रूप से प्रस्तुत करना सारणीयन (Tabulation) कहलाता है। मध्यमान और माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं, तथा दण्ड आरेख आँकड़ों का चित्रात्मक (graphical) प्रस्तुतीकरण है, सारणी नहीं।

प्रश्न 101

किसी दिए गए समूह में आकड़ों के महत्तम मान तथा न्यूनतम मान के अन्तर को कहते हैं :

  1. Aपरिसर
  2. Bमाध्य
  3. Cबारम्बारता
  4. Dमाध्यिका

व्याख्या

आँकड़ों के सबसे बड़े (महत्तम) और सबसे छोटे (न्यूनतम) मान के अन्तर को परिसर (Range) कहते हैं: परिसर = महत्तम मान − न्यूनतम मान। माध्य और माध्यिका केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप हैं तथा बारम्बारता किसी मान के आने की संख्या है।

प्रश्न 109

x-अक्ष पर बिन्दु हैं :

  1. A(2, 3)
  2. B(2, 0)
  3. C(0, 2)
  4. D(2, 2)

व्याख्या

x-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का y-निर्देशांक शून्य होता है, अर्थात् वह (x, 0) के रूप में होता है। अतः (2, 0) x-अक्ष पर है। (0, 2) का x-निर्देशांक शून्य है, इसलिए वह y-अक्ष पर है।

प्रश्न 94

दिये गये दंड आरेख का उपयोग करके उत्तर दीजिए कि गाय के बाद कौन-सा पालतु जानवर सर्वाधिक लोकप्रिय है

चित्र: Bar chart of pet animals: Dogs 8, Cows 10, Goats 6, Rabbits 4, Cats 5. Diagram added with the exact values from the official figure note.

  1. Aबिल्लियाँ
  2. Bखरगोश
  3. Cबकरियाँ
  4. Dकुत्ते

व्याख्या

दंड आरेख में गायें सबसे अधिक (10) हैं। उसके बाद कुत्ते 8, बकरियाँ 6, बिल्लियाँ 5 और खरगोश 4 हैं। अतः गाय के बाद सबसे लोकप्रिय पालतू जानवर कुत्ते हैं।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

आँकड़ों 4, 8, 6, 10, 12 का माध्य ज्ञात करें।

  1. A7
  2. B8
  3. C9
  4. D10

व्याख्या

योग = 4+8+6+10+12 = 40। माध्य = 40 ÷ 5 = 8।

प्रश्न 2

आँकड़ों 12, 45, 7, 89, 34 का परिसर ज्ञात करें।

  1. A77
  2. B82
  3. C89
  4. D7

व्याख्या

महत्तम मान = 89, न्यूनतम मान = 7। परिसर = 89 − 7 = 82।

प्रश्न 3

आँकड़ों 5, 3, 9, 1, 7 की माध्यिका ज्ञात करें।

  1. A3
  2. B5
  3. C7
  4. D9

व्याख्या

आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर: 1, 3, 5, 7, 9। बीच का मान (माध्यिका) = 5।

प्रश्न 4

आँकड़ों 4, 8, 2, 10 की माध्यिका ज्ञात करें।

  1. A4
  2. B6
  3. C8
  4. D5

व्याख्या

आरोही क्रम: 2, 4, 8, 10। संख्या सम (4) होने से माध्यिका = बीच के दो मानों (4 और 8) का माध्य = (4+8)/2 = 6।

प्रश्न 5

आँकड़ों 2, 3, 3, 5, 3, 7, 5 का बहुलक ज्ञात करें।

  1. A5
  2. B7
  3. C3
  4. D2

व्याख्या

3 सबसे अधिक (तीन बार) आया है, इसलिए बहुलक = 3।

प्रश्न 6

मिलान चिह्न (Tally marks) में पाँचवाँ चिह्न कैसे बनाया जाता है?

  1. Aपहले चार खड़ी रेखाओं पर एक तिरछी रेखा खींचकर
  2. Bपाँचवीं खड़ी रेखा अलग से बनाकर
  3. Cएक गोला बनाकर
  4. Dपाँच बिंदु बनाकर

व्याख्या

मिलान चिह्नों में पहले चार मान खड़ी रेखाओं से और पाँचवाँ मान उन चारों पर तिरछी रेखा खींचकर दिखाया जाता है, जिससे 5 का समूह पूरा होता है।

प्रश्न 7

किसी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होने पर वह बिंदु स्थित होता है:

  1. Ay-अक्ष पर
  2. Bx-अक्ष पर
  3. Cमूलबिंदु पर
  4. Dप्रथम चतुर्थांश में

व्याख्या

x-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है, अर्थात् वह (x, 0) के रूप में होता है।

प्रश्न 8

किसी दंड आलेख में यदि सभी दंडों की चौड़ाई असमान हो, तो आलेख:

  1. Aसही तरीके से आँकड़े दर्शाएगा
  2. Bआँकड़ों की सही तुलना संभव नहीं होगी, क्योंकि दंड आलेख में सभी दंडों की चौड़ाई समान होनी चाहिए
  3. Cकोई फर्क नहीं पड़ता
  4. Dमाध्य अपने आप बदल जाएगा

व्याख्या

दंड आलेख की सही और निष्पक्ष व्याख्या के लिए सभी दंडों की चौड़ाई और उनके बीच का अंतर समान होना ज़रूरी है, तभी केवल ऊँचाई से तुलना उचित रहती है।

प्रश्न 9

पाँच संख्याओं का माध्य 15 है। यदि एक और संख्या 27 इनमें जोड़ी जाए, तो नया माध्य ज्ञात करें।

  1. A17
  2. B18
  3. C16
  4. D20

व्याख्या

पाँच संख्याओं का योग = 15 × 5 = 75। 27 जोड़ने पर नया योग = 102, नई संख्या = 6। नया माध्य = 102 ÷ 6 = 17।

प्रश्न 10

कक्षा 7 में आँकड़ों का प्रबंधन पढ़ाते समय सबसे प्रभावी तरीका है:

  1. Aसीधे सूत्र देकर अभ्यास कराना
  2. Bविद्यार्थियों से स्वयं वास्तविक आँकड़े एकत्र कर सारणी व आलेख बनवाना
  3. Cकेवल पाठ्यपुस्तक की परिभाषाएँ रटवाना
  4. Dविषय को परीक्षा के लिए छोड़ देना

व्याख्या

अपने आस-पास से इकट्ठा किए गए वास्तविक आँकड़ों पर काम करने से विद्यार्थी सारणीयन और आलेख बनाने की प्रक्रिया को अनुभव द्वारा गहराई से समझते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET में आँकड़ों के प्रबंधन से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से 4 प्रश्न पूछे गए थे — ज़्यादातर परिभाषा और आलेख/तालिका सीधे पढ़ने पर आधारित, इसलिए ये अंक जल्दी और आसानी से मिल सकते हैं।

माध्य, माध्यिका और बहुलक में क्या अंतर है?+

माध्य सभी मानों का औसत है, माध्यिका क्रम में रखने पर बीच का मान है, और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है — तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के अलग-अलग माप हैं और अलग-अलग स्थितियों में उपयोगी होते हैं।

परिसर (Range) किसे कहते हैं?+

आँकड़ों के महत्तम (सबसे बड़े) और न्यूनतम (सबसे छोटे) मान के अंतर को परिसर कहते हैं: परिसर = महत्तम मान − न्यूनतम मान। यह आँकड़ों के फैलाव का सबसे सरल माप है।

मिलान चिह्न (Tally marks) किस समूह में बनाए जाते हैं?+

मिलान चिह्न पाँच-पाँच के समूह में बनाए जाते हैं — पहले चार खड़ी रेखाएँ और पाँचवीं को उन पर तिरछी रेखा खींचकर दर्शाया जाता है, जिससे बड़े आँकड़ों को भी आसानी से गिना जा सकता है।

चित्रालेख (Pictograph) और दंड आलेख (Bar graph) में क्या अंतर है?+

चित्रालेख में आँकड़े चित्रों/चिह्नों से दर्शाए जाते हैं जहाँ हर चिह्न एक निश्चित मात्रा दर्शाता है, जबकि दंड आलेख में समान चौड़ाई के आयताकार दंडों की ऊँचाई से मान दिखाए जाते हैं — दंड आलेख अधिक सटीक और पढ़ने में आसान माना जाता है। इससे आगे चलकर उच्च कक्षाओं में सांख्यिकी (Statistics) के जटिल विषयों की नींव भी मज़बूत होती है।

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पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

पिछला टॉपिक — ठोस आकृतियों के सूत्र दोहराएँ।

पाई चार्ट एवं आयतचित्र

आँकड़ों को दर्शाने के अगले तरीके — पाई चार्ट व हिस्टोग्राम।

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  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए