भिन्न एवं दशमलव: REET गणित नोट्स, शॉर्टकट और हल प्रश्न
इस पेज पर भिन्न के प्रकार, भिन्नों की तुलना और क्रम, संक्रियाएँ, सांत व आवर्ती दशमलव तथा इन्हें कक्षा में पढ़ाने का तरीका एक जगह है। REET 2024 में इस टॉपिक से 8 प्रश्न आए, इसलिए यह गणित के सबसे अंक-दायी टॉपिकों में से एक है।
- REET 2024 में 8 प्रश्न
- कक्षा 3–8 स्तर
- 9 मिनट पढ़ें
REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है
REET 2024 की तीन पालियों में इस टॉपिक से 8 प्रश्न आए — Level 1 (पाली 1) में 4 और Level 2 (पाली 2 व 3) में 4। प्रश्नों का स्तर कक्षा 6–8 का है, पर गति की परीक्षा होती है: भिन्नों की तुलना और आरोही क्रम (3 प्रश्न), आवर्ती दशमलव को p/q में बदलना (2 प्रश्न), भिन्नों का टेलीस्कोपिक योग (1/20 + 1/30 + …), 'शेष भाग' वाला शाब्दिक प्रश्न (खम्भा) और इकाई को दशमलव भाग में बदलना (सेकण्ड/घंटा)। लंबी गणना कम, शॉर्टकट और अवधारणा ज़्यादा।
भिन्न के प्रकार (Types of Fractions)
| प्रकार | पहचान | उदाहरण |
|---|---|---|
| उचित भिन्न (Proper) | अंश < हर; मान 1 से कम | 3/7, 5/9 |
| विषम भिन्न (Improper) | अंश ≥ हर; मान 1 या अधिक | 14/11, 9/4 |
| मिश्र भिन्न (Mixed) | पूर्ण संख्या + उचित भिन्न | 1 3/11 = 14/11 |
| समान/सजातीय भिन्न (Like) | सभी के हर समान | 2/9, 5/9, 7/9 |
| असमान/विजातीय भिन्न (Unlike) | हर अलग-अलग | 1/4, 2/9 |
| इकाई भिन्न (Unit) | अंश 1 | 1/8, 1/20 |
| तुल्य भिन्न (Equivalent) | अंश-हर को एक ही संख्या से गुणा/भाग | 3/5 = 6/10 = 9/15 |
| सरलतम रूप (Lowest terms) | अंश-हर का HCF = 1 | 27/99 → 3/11 |
विषम भिन्न ↔ मिश्र भिन्न: 14 ÷ 11 = 1 शेष 3, अतः 14/11 = 1 3/11।[स्रोत 1]
भिन्नों की तुलना और क्रम — REET के शॉर्टकट
सामान्य विधि: सभी भिन्नों के हर का LCM लेकर समान हर बनाइए, फिर अंश की तुलना कीजिए। दो भिन्नों a/b और c/d के लिए तिरछा गुणा (cross multiplication) सबसे तेज़ है: यदि a×d > b×c तो a/b बड़ी है। उदाहरण: 3/7 और 5/11 में 3×11 = 33 और 7×5 = 35, इसलिए 5/11 > 3/7।
नियम 1 — अंश समान हों तो जिसका हर छोटा, वह भिन्न बड़ी (1/4 > 1/5)। नियम 2 — हर समान हों तो जिसका अंश बड़ा, वह बड़ी। नियम 3 — यदि हर और अंश का अंतर सभी भिन्नों में समान हो (जैसे 13/15, 15/17, 17/19, 19/21 में अंतर 2), तो उचित भिन्नों में जिसके अंश-हर बड़े हों, वही सबसे बड़ी होती है, क्योंकि 1 − 2/21 में घटने वाला भाग सबसे छोटा है। विषम भिन्नों (जैसे 3/2, 5/4) में यही नियम उल्टा लागू होता है।
दशमलव में बदलकर तुलना: 2/9 ≈ 0.222, 1/4 = 0.25, 3/7 ≈ 0.429, 5/11 ≈ 0.455 — इसलिए आरोही क्रम 2/9, 1/4, 3/7, 5/11। विकल्पों में केवल पहली और अंतिम भिन्न जाँचकर भी अक्सर उत्तर मिल जाता है।
दशमलव: सांत, असांत आवर्ती और p/q में बदलना
| स्थिति | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| सांत दशमलव (Terminating) | सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों | 3/8 = 0.375, 1/20 = 0.05 |
| असांत आवर्ती (Non-terminating recurring) | हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो | 1/3 = 0.3̅, 3/11 = 0.2̅7̅ |
| शुद्ध आवर्ती → p/q | आवर्ती अंक ÷ उतने ही 9 | 0.8̅ = 8/9, 0.2̅7̅ = 27/99 = 3/11 |
| मिश्र आवर्ती → p/q | (पूरी संख्या − अनावर्ती भाग) ÷ (आवर्ती अंकों जितने 9 + अनावर्ती अंकों जितने 0) | 0.12̅ = (12 − 1)/90 = 11/90 |
| पूर्णांक सहित | पूर्णांक अलग जोड़ें | 1.2̅7̅ = 1 + 3/11 = 14/11 |
| सांत दशमलव → p/q | दशमलव हटाकर 10, 100, 1000 से भाग | 0.125 = 125/1000 = 1/8 |
याद रखें: 1/8 = 0.125, 1/16 = 0.0625, 1/7 = 0.1̅4̅2̅8̅5̅7̅, 1/9 = 0.1̅, 1/11 = 0.0̅9̅।[स्रोत 1]
संक्रियाएँ, टेलीस्कोपिक योग और शाब्दिक प्रश्न
जोड़-घटाव: हर का LCM लेकर समान हर बनाइए। गुणा: अंश × अंश / हर × हर (पहले काट-छाँट कर लें)। भाग: दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) लेकर गुणा करें — 3/4 ÷ 3/8 = 3/4 × 8/3 = 2। किसी संख्या का भिन्न भाग निकालना = गुणा: 60 का 3/5 = 36।
टेलीस्कोपिक योग: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)। इसलिए 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = (1/4 − 1/5) + (1/5 − 1/6) + (1/6 − 1/7) + (1/7 − 1/8) = 1/4 − 1/8 = 1/8 = 0.125। पहचान: हर लगातार दो संख्याओं के गुणनफल हों (20 = 4×5, 30 = 5×6)।
'शेष भाग' वाले प्रश्न: पहले सभी दिए भाग जोड़ें, 1 में से घटाएँ; बचा भाग जिस मात्रा के बराबर है, उससे पूरी राशि निकालें। खम्भा: 3/10 + 3/5 = 9/10, शेष 1/10 = 2 मीटर, पूरा खम्भा = 20 मीटर। इसी तरह वेतन, टंकी, दूरी के प्रश्न बनते हैं।
दशमलव संक्रियाएँ: जोड़-घटाव में दशमलव बिंदु एक सीध में रखें। गुणा में दोनों संख्याओं के दशमलव स्थान जोड़ें (0.2 × 0.03 = 0.006)। 10, 100, 1000 से गुणा पर बिंदु दाईं ओर और भाग पर बाईं ओर खिसकता है। इकाई रूपांतरण: 1 सेकण्ड = 1/3600 घंटा ≈ 0.000278 घंटा; 250 ग्राम = 0.25 किग्रा।
झटपट तथ्य
- दो भिन्नों के बीच
- किन्हीं दो भिन्नों के बीच अनगिनत भिन्न होती हैं; (a/b + c/d) ÷ 2 हमेशा बीच में आती है
- भिन्नों का LCM
- अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
- भिन्नों का HCF
- अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
- 0.9̅ का मान
- 9/9 = 1
- व्युत्क्रम
- a/b का व्युत्क्रम b/a; 0 का व्युत्क्रम परिभाषित नहीं
- 2(0.8̅)
- 2 × 8/9 = 16/9 = 1.7̅
बच्चों को कैसे पढ़ाएँ
गतिविधि (कक्षा 3–5)
कागज़ की पट्टी या रोटी के चित्र को बराबर हिस्सों में मोड़कर 1/2, 1/4, 3/4 दिखाएँ। 'बराबर हिस्से' पर ज़ोर दें — असमान टुकड़े भिन्न नहीं कहलाते।
शिक्षण सामग्री
भिन्न पट्टियाँ (fraction strips), भिन्न-वृत्त, संख्या रेखा, और दशमलव के लिए 10×10 ग्रिड (100 खाने = 1; 1 खाना = 0.01) तथा रुपया-पैसा व मीटर-सेंटीमीटर जैसे परिचित संदर्भ।
आम भ्रांति 1
'1/8, 1/4 से बड़ा है क्योंकि 8 > 4' — बच्चे पूर्ण संख्याओं का नियम भिन्नों पर लगाते हैं। उपाय: एक ही आकार की दो पट्टियों को 4 और 8 भागों में बाँटकर तुलना कराएँ।
आम भ्रांति 2
'0.25 > 0.3 क्योंकि 25 > 3' और 1/2 + 1/3 = 2/5 (अंश-अंश, हर-हर जोड़ना)। उपाय: 10×10 ग्रिड पर 0.25 और 0.3 रंगवाकर तुलना कराएँ, और भिन्न पट्टियों से दिखाएँ कि 1/2 + 1/3 का उत्तर 1/2 से छोटा (2/5) नहीं हो सकता।
आकलन विचार
'सबसे बड़ा हिस्सा किसे मिला?' जैसे रोज़मर्रा के प्रश्न पूछें और बच्चे से कारण भी लिखवाएँ; केवल उत्तर नहीं, तर्क जाँचें। संख्या रेखा पर 3/4 और 0.75 को एक ही बिंदु पर अंकित करवाना अच्छा निदानात्मक प्रश्न है।
याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप
भिन्नों की तुलना में विकल्प देखें: यदि सभी उचित भिन्नों में 'हर − अंश' समान है, तो सबसे बड़े अंक वाली भिन्न सबसे बड़ी — बिना गणना के। और आवर्ती दशमलव में जितने अंक आवर्ती, हर में उतने 9 — जितने अंक अनावर्ती, उतने 0।
REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)
प्रश्न 93
P/Q के रूप में 1.2̅7̅ (27 आवर्ती) बराबर होगा
- A17/11
- B11/14
- C14/11
- D11/12
व्याख्या
1.2̅7̅ में 27 आवर्ती है, अतः 0.2̅7̅ = 27/99 = 3/11। इसलिए 1.2̅7̅ = 1 + 3/11 = 14/11। विकल्प (B) 11/14 इसका व्युत्क्रम है, जो 1 से छोटा है, अतः गलत है।
प्रश्न 105
1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 का मान है
- A0.152
- B1.125
- C0.125
- D0.120
व्याख्या
20 = 4×5, 30 = 5×6, 42 = 6×7, 56 = 7×8 तथा 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)। अतः योग = (1/4 − 1/5) + (1/5 − 1/6) + (1/6 − 1/7) + (1/7 − 1/8) = 1/4 − 1/8 = 1/8 = 0.125। विकल्प (B) 1.125 में दशमलव गलत है — चार छोटी भिन्नों का योग 1 से अधिक नहीं हो सकता।
प्रश्न 113
13/15, 15/17, 17/19 तथा 19/21 में से कौन-सी भिन्न सबसे बड़ी भिन्न है ?
- A19/21
- B13/15
- C17/19
- D15/17
व्याख्या
प्रत्येक भिन्न में हर, अंश से 2 अधिक है: 13/15 = 1 − 2/15, 15/17 = 1 − 2/17, 17/19 = 1 − 2/19, 19/21 = 1 − 2/21। जिसका हर सबसे बड़ा है उसमें 1 से घटने वाला भाग (2/21) सबसे छोटा है, अतः 19/21 सबसे बड़ी भिन्न है।
प्रश्न 118
एक खम्भे का 3/10 वाँ भाग कीचड़ में, 3/5 वाँ भाग पानी में तथा शेष 2 मीटर पानी की सतह के ऊपर हो, तो खम्भे की लम्बाई होगी
- A10 मीटर
- B15 मीटर
- C30 मीटर
- D20 मीटर
व्याख्या
कीचड़ और पानी में कुल भाग = 3/10 + 3/5 = 3/10 + 6/10 = 9/10। शेष भाग = 1 − 9/10 = 1/10, जो 2 मीटर है। अतः खम्भे की लम्बाई = 2 × 10 = 20 मीटर।
प्रश्न 102
एक सेकण्ड, एक घंटे का कितने दशमलव भाग है ?
- A0.002561
- B0.000277
- C0.000123
- D0.002077
व्याख्या
1 घंटा = 60 × 60 = 3600 सेकण्ड। अतः 1 सेकण्ड = 1/3600 घंटा = 0.000277... घंटा (लगभग)। इसलिए विकल्प (B) 0.000277 सही है।
प्रश्न 113
5/9, 3/7, 11/13, 6/11 और 7/8 भिन्नों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे भिन्न का योग है :
- A1 5/8
- B1 17/53
- C1 17/56
- D1 13/99
व्याख्या
दशमलव में बदलने पर: 5/9 ≈ 0.556, 3/7 ≈ 0.429, 11/13 ≈ 0.846, 6/11 ≈ 0.545, 7/8 = 0.875। सबसे बड़ा भिन्न 7/8 और सबसे छोटा 3/7 है। योग = 7/8 + 3/7 = (49 + 24)/56 = 73/56 = 1 17/56। इसलिए (C) सही है।
प्रश्न 103
3/7, 2/9, 5/11, 1/4 का आरोही क्रम विन्यास है
- A5/11, 3/7, 1/4, 2/9
- B2/9, 1/4, 3/7, 5/11
- C3/7, 5/11, 1/4, 2/9
- D2/9, 1/4, 5/11, 3/7
व्याख्या
दशमलव रूप में: 2/9 ≈ 0.222, 1/4 = 0.25, 3/7 ≈ 0.429, 5/11 ≈ 0.455। अतः आरोही (छोटे से बड़े) क्रम है 2/9, 1/4, 3/7, 5/11। विकल्प (D) में 5/11 और 3/7 का क्रम उलटा है (3/7 < 5/11 क्योंकि 3×11 = 33 < 5×7 = 35)।
प्रश्न 119
2(0.8̅) का हल है
- A0.1̅6̅
- B0.1̅7̅
- C1.6̅
- D1.7̅
व्याख्या
0.8̅ (8 आवर्ती) = 8/9। अतः 2 × 8/9 = 16/9 = 1.777… = 1.7̅ (7 आवर्ती)। 2 × 0.8 = 1.6 सीधे गुणा करने की गलती है, क्योंकि आवर्ती दशमलव में 0.888… × 2 = 1.777… होता है।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
7/12, 5/8, 2/3 और 3/4 में सबसे छोटी भिन्न कौन-सी है?
- A7/12
- B5/8
- C2/3
- D3/4
व्याख्या
LCM 24 लेने पर भिन्नें 14/24, 15/24, 16/24 और 18/24 बनती हैं। सबसे छोटा अंश 14 है, अतः 7/12 सबसे छोटी है।
प्रश्न 2
0.3̅6̅ को p/q रूप में लिखने पर सरलतम रूप होगा
- A36/100
- B4/11
- C9/25
- D6/17
व्याख्या
शुद्ध आवर्ती दशमलव में आवर्ती अंक ÷ उतने 9: 36/99 = 4/11। 36/100 = 0.36 सांत दशमलव है, आवर्ती नहीं।
प्रश्न 3
0.23̅ (केवल 3 आवर्ती) का p/q रूप है
- A23/99
- B23/90
- C7/30
- D2/9
व्याख्या
मिश्र आवर्ती: (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30। 23/90 में अनावर्ती अंक 2 घटाना भूल गए हैं, और 23/99 शुद्ध आवर्ती 0.2̅3̅ का मान है।
प्रश्न 4
निम्न में से किस भिन्न का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होगा?
- A7/12
- B11/30
- C9/40
- D5/21
व्याख्या
40 = 2³ × 5, इसमें केवल 2 और 5 गुणनखंड हैं, अतः 9/40 = 0.225 सांत है। 12, 30 और 21 में 3 या 7 का गुणनखंड है।
प्रश्न 5
1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 का मान है
- A1/3
- B2/5
- C1/2
- D4/15
व्याख्या
6 = 2×3, 12 = 3×4, 20 = 4×5, 30 = 5×6; अतः योग = (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) + (1/5 − 1/6) = 1/2 − 1/6 = 1/3।
प्रश्न 6
एक टंकी का 2/5 भाग सुबह और 1/3 भाग दोपहर में खाली हुआ। शेष पानी 120 लीटर है। टंकी की पूरी क्षमता कितनी है?
- A360 लीटर
- B540 लीटर
- C400 लीटर
- D450 लीटर
व्याख्या
खाली भाग = 2/5 + 1/3 = 11/15, शेष = 4/15। 4/15 भाग = 120 लीटर, अतः पूरी टंकी = 120 × 15/4 = 450 लीटर।
प्रश्न 7
15 मिनट, 2 घंटे का कितना दशमलव भाग है?
- A0.25
- B0.075
- C0.15
- D0.125
व्याख्या
2 घंटे = 120 मिनट, अतः 15/120 = 1/8 = 0.125। 0.25 एक घंटे का भाग होता, दो घंटे का नहीं।
प्रश्न 8
3/4 ÷ 9/16 का मान है
- A27/64
- B4/3
- C3/4
- D2/3
व्याख्या
भाग में दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा करते हैं: 3/4 × 16/9 = 48/36 = 4/3। 27/64 गुणा करने पर मिलता, भाग पर नहीं; 3/4 पहली भिन्न का व्युत्क्रम लेने की गलती से आता है।
प्रश्न 9
कक्षा 5 का एक विद्यार्थी लिखता है कि 0.35 > 0.5 क्योंकि 35 > 5। इस भ्रांति को दूर करने के लिए सबसे उपयुक्त तरीका कौन-सा है?
- Aदशमलव तुलना का नियम पाँच बार लिखवाना
- B10×10 ग्रिड पर दोनों संख्याएँ रंगवाकर तुलना कराना
- Cउत्तर गलत बताकर अगला प्रश्न देना
- Dकेवल अधिक अभ्यास प्रश्न देना
व्याख्या
ग्रिड पर 0.35 = 35 खाने और 0.5 = 50 खाने रंगने से बच्चा स्वयं देखता है कि 0.5 बड़ा है। मूर्त प्रतिनिधित्व से अवधारणा बनती है, जबकि रटाने या केवल अभ्यास से भ्रांति का कारण दूर नहीं होता।
प्रश्न 10
कक्षा 3 में भिन्न की अवधारणा का परिचय देने के लिए सबसे उपयुक्त आरंभ कौन-सा है?
- Aभिन्न की परिभाषा याद करवाना
- Bभिन्नों के जोड़ का सूत्र बताना
- Cरोटी या कागज़ को बराबर भागों में बाँटने की गतिविधि
- Dसंख्या रेखा पर 7/9 अंकित करवाना
व्याख्या
प्राथमिक स्तर पर गणित मूर्त से अमूर्त की ओर पढ़ाया जाता है। बराबर बाँटने की परिचित गतिविधि से 'आधा', 'चौथाई' का अर्थ बनता है; परिभाषा, सूत्र और संख्या रेखा बाद के चरण हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
REET में भिन्न एवं दशमलव से कितने प्रश्न आते हैं?+
REET 2024 में इस टॉपिक से कुल 8 प्रश्न आए — Level 1 की एक पाली में 4 और Level 2 की दो पालियों में 4। संख्या हर पाली में बदल सकती है, पर यह गणित का नियमित टॉपिक है।
आवर्ती दशमलव को भिन्न (p/q) में कैसे बदलें?+
शुद्ध आवर्ती में आवर्ती अंकों को उतने 9 से भाग दें (0.2̅7̅ = 27/99)। मिश्र आवर्ती में पूरी संख्या में से अनावर्ती भाग घटाकर, आवर्ती अंकों जितने 9 और अनावर्ती अंकों जितने 0 से भाग दें (0.12̅ = 11/90)।
कौन-सी भिन्न सांत दशमलव देती है?+
सरलतम रूप में जिस भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों, उसका दशमलव प्रसार सांत होता है, जैसे 7/20 = 0.35।
भिन्नों को आरोही क्रम में कैसे लगाएँ?+
सबसे तेज़ तरीका है भिन्नों को लगभग दशमलव में बदलना या तिरछा गुणा करके जोड़ियों में तुलना करना। आरोही = छोटी से बड़ी, अवरोही = बड़ी से छोटी।
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आधिकारिक स्रोत
बदलाव लॉग
- 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए