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लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) एवं महत्तम समापवर्तक (HCF)

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यह पेज REET परीक्षा के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के सभी सूत्र, विधियाँ और शॉर्टकट एक जगह देता है। संख्या पद्धति खंड में हर वर्ष इससे सीधी गणना या शब्द-समस्या के रूप में प्रश्न पूछा जाता है।

  • REET 2024 में 1 प्रश्न
  • कक्षा 4–6 स्तर
  • 7 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 में इस टॉपिक से सीधा गणनात्मक प्रश्न पूछा गया — दो संख्याओं के LCM और HCF का अनुपात निकालना। पैटर्न देखें तो आमतौर पर एक प्रत्यक्ष गणना वाला प्रश्न (अभाज्य गुणनखंड या भाग विधि पर आधारित) और कभी-कभी एक शब्द-समस्या (घंटी बजना, वस्तुएँ बाँटना) पूछी जाती है। सूत्र LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल — यह सबसे अधिक टेस्ट किया जाने वाला बिंदु है।

परिभाषा — HCF और LCM

महत्तम समापवर्तक (HCF / GCD) दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा गुणनखंड (factor) है, जो हर संख्या को पूरी तरह विभाजित कर देता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा गुणज (multiple) है, जो हर संख्या से पूरी तरह विभाजित हो जाता है। HCF हमेशा दी गई संख्याओं के बराबर या उनसे छोटा होता है, जबकि LCM हमेशा बराबर या बड़ा होता है।

HCF और LCM निकालने की विधियाँ

विधिHCF में उपयोगLCM में उपयोग
अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorisation)उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफलसभी अभाज्य गुणनखंडों (उभयनिष्ठ व असमान) की अधिकतम घात का गुणनफल
भाग विधि (Division / यूक्लिड विधि)बड़ी संख्या को छोटी से भाग देकर शेषफल से आगे भाग देते जाना; अंतिम भाजक = HCFसंख्याओं को उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों से क्रमिक भाग देकर सभी भाजकों व अंतिम भागफलों का गुणनफल

16 और 36 पर लागू करने पर: 16 = 2⁴, 36 = 2² × 3² ⇒ HCF = 2² = 4, LCM = 2⁴ × 3² = 144

याद रखने योग्य सूत्र

दो संख्याओं के लिए
LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या (यह नियम केवल दो संख्याओं पर लागू होता है, तीन या अधिक पर नहीं)
सहअभाज्य (co-prime) संख्याएँ
HCF सदैव 1 होता है; LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
भिन्नों का HCF
अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
भिन्नों का LCM
अंशों का LCM ÷ हरों का HCF

शब्द-समस्याओं में HCF या LCM की पहचान

जब प्रश्न में 'बराबर टुकड़े', 'अधिकतम संख्या में बाँटना', 'सबसे बड़ी माप' जैसे शब्द हों — वहाँ HCF काम आता है। जैसे: कई लंबाई की रस्सियों को बराबर टुकड़ों में काटने के लिए सबसे बड़ी संभव लंबाई ज्ञात करना।

जब प्रश्न में 'एक साथ होना', 'न्यूनतम संख्या', 'फिर से मिलकर टकराना' जैसे शब्द हों — वहाँ LCM काम आता है। जैसे: अलग-अलग समय पर बजने वाली कई घंटियाँ फिर कब एक साथ बजेंगी — यह LCM से निकलता है।

कुछ प्रश्नों में 'शेषफल सहित' शब्द-समस्याएँ भी आती हैं — जैसे किसी संख्या को कई संख्याओं से भाग देने पर हर बार एक निश्चित शेषफल बचता है। ऐसे प्रश्नों में पहले LCM निकालकर उसमें शेषफल जोड़ दिया जाता है (सबसे छोटी संख्या के लिए), या दिए गए भाज्यों में से शेषफल घटाकर HCF निकाला जाता है (जब हर भाज्य से समान शेषफल बचे)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 24 और 36 का HCF तथा LCM ज्ञात करें। 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²। HCF = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात = 2² × 3 = 12। LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात = 2³ × 3² = 72। जाँच: HCF × LCM = 12 × 72 = 864 = 24 × 36 ✓।

उदाहरण 2: तीन घंटियाँ क्रमशः 9, 12 और 15 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि तीनों सुबह 8:00 बजे एक साथ बजें, तो दोबारा एक साथ कब बजेंगी? हल: 9 = 3², 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5। LCM = 2² × 3² × 5 = 180 मिनट = 3 घंटे। अतः तीनों घंटियाँ अगली बार सुबह 11:00 बजे एक साथ बजेंगी।

सामान्य गलतियाँ व सावधानियाँ

सबसे आम गलती यह है कि विद्यार्थी अभाज्य गुणनखंड करते समय किसी घात को गलत गिन लेते हैं — जैसे 36 को 2×18 तक लिखकर रोक देना, आगे 18=2×9=2×3×3 तक न तोड़ना। हमेशा तब तक गुणनखंड करें जब तक सभी गुणनखंड अभाज्य न हो जाएँ।

दूसरी सामान्य गलती भाग विधि (division method) में HCF निकालते समय अंतिम गैर-शून्य शेषफल को ही उत्तर मान लेना है, जबकि सही उत्तर वह अंतिम भाजक (divisor) होता है जिस पर शेषफल शून्य आता है। शब्द-समस्याओं में भी 'बराबर बाँटना/सबसे बड़ी माप' (HCF) और 'एक साथ होना/दोहराव' (LCM) के संकेत शब्दों को पहचानने में जल्दबाज़ी न करें।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

कक्षा गतिविधि

बच्चों को कंकड़/गोटियों के दो समूह देकर बराबर-बराबर ढेरियाँ बनवाएँ — जो सबसे बड़ी ढेरी बनेगी, वही HCF का व्यावहारिक अनुभव देती है। LCM के लिए दो अलग लंबाई की रंगीन पट्टियों को बार-बार जोड़कर दिखाएँ, जहाँ दोनों पट्टियों के सिरे पहली बार मिलें — वही LCM है।

शिक्षण सामग्री

गुणनखंड वृक्ष (factor tree) चार्ट, संख्या रेखा पर बहुगुणज चिह्नित पट्टियाँ, और रंगीन गिनतारे उपयोगी हैं।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर HCF और LCM की दिशा भूल जाते हैं, या तीन संख्याओं पर भी 'LCM × HCF = गुणनफल' वाला नियम लगा बैठते हैं — यह गलत है, यह नियम केवल दो संख्याओं के लिए सही है।

आकलन विचार

वास्तविक जीवन की स्थिति (जैसे स्कूल की घंटी, टाइल बिछाना) देकर पूछें — 'यहाँ HCF चाहिए या LCM, और क्यों?' — इससे संकल्पनात्मक समझ जाँची जा सकती है।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

यदि दो संख्याओं का HCF और उनका गुणनफल पता है, तो LCM = गुणनफल ÷ HCF से सीधे निकाल लें — पूरी प्रक्रिया दोहराने की जरूरत नहीं। पर ध्यान रहें, यह शॉर्टकट सिर्फ दो संख्याओं के लिए है; तीन या अधिक संख्याओं वाले प्रश्न में हमेशा विधिपूर्वक हल करें।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 107

16 और 36 के लघुतम समापवर्त्य व महत्तम समापवर्तक का अनुपात है

  1. A36 : 1
  2. B16 : 1
  3. C1 : 36
  4. D72 : 1

व्याख्या

16 = 2⁴ और 36 = 2² × 3²। म.स. (HCF) = 2² = 4 तथा ल.स. (LCM) = 2⁴ × 3² = 144। अतः LCM : HCF = 144 : 4 = 36 : 1। विकल्प (C) 1 : 36 उलटा अनुपात (HCF : LCM) है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

18 और 24 का HCF क्या है?

  1. A6
  2. B12
  3. C72
  4. D3

व्याख्या

18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3। उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात = 2¹ × 3¹ = 6। अतः HCF = 6।

प्रश्न 2

प्राथमिक कक्षा में HCF और LCM की अवधारणा स्पष्ट कराने के लिए सबसे उपयुक्त प्रारंभिक शिक्षण विधि कौन-सी है?

  1. Aमूर्त वस्तुओं (जैसे कंकड़, गोटियाँ) से समान समूह बनवाना व गुणनखंड वृक्ष बनवाना
  2. Bकेवल सूत्र रटवाना
  3. Cसीधे बड़ी संख्याओं के प्रश्न हल कराना
  4. Dकेवल परिभाषा बोर्ड पर लिखवाना

व्याख्या

मूर्त वस्तुओं से समूह बनवाना और गुणनखंड वृक्ष बनवाना बच्चों को HCF-LCM का ठोस अनुभव देता है, जो केवल सूत्र रटने से नहीं मिलता। यह ठोस से अमूर्त की ओर शिक्षण सिद्धांत का पालन करता है।

प्रश्न 3

दो सहअभाज्य (co-prime) संख्याओं का LCM 91 है। यदि एक संख्या 7 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

  1. A13
  2. B7
  3. C91
  4. D84

व्याख्या

सहअभाज्य संख्याओं का HCF सदैव 1 होता है, इसलिए LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल। 91 = 7 × 13, अतः दूसरी संख्या 13 है।

प्रश्न 4

दो संख्याओं का HCF 4 और LCM 48 है। यदि एक संख्या 16 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

  1. A12
  2. B16
  3. C8
  4. D24

व्याख्या

LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या ⇒ 48 × 4 = 16 × दूसरी संख्या ⇒ दूसरी संख्या = 192 ÷ 16 = 12।

प्रश्न 5

60, 75 और 90 का HCF क्या है?

  1. A15
  2. B5
  3. C30
  4. D45

व्याख्या

60 = 2² × 3 × 5, 75 = 3 × 5², 90 = 2 × 3² × 5। तीनों में उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 3 × 5 = 15।

प्रश्न 6

12, 15 और 20 का LCM क्या है?

  1. A60
  2. B120
  3. C30
  4. D180

व्याख्या

12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5। सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात = 2² × 3 × 5 = 60।

प्रश्न 7

तीन घंटियाँ क्रमशः 9, 12 और 15 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि तीनों सुबह 8:00 बजे एक साथ बजें, तो वे दोबारा एक साथ कब बजेंगी?

  1. A11:00 बजे
  2. B10:00 बजे
  3. C9:30 बजे
  4. D12:00 बजे

व्याख्या

LCM(9,12,15) = 180 मिनट = 3 घंटे (9=3², 12=2²×3, 15=3×5 ⇒ LCM=2²×3²×5=180)। अतः 8:00 + 3:00 = 11:00 बजे तीनों दोबारा एक साथ बजेंगी।

प्रश्न 8

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 245 और 1029 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचाए।

  1. A16
  2. B15
  3. C32
  4. D8

व्याख्या

245−5=240 और 1029−5=1024 का HCF ज्ञात करना होगा। 240 = 2⁴×3×5, 1024 = 2¹⁰। उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 2⁴ = 16।

प्रश्न 9

एक शिक्षक 36 कॉपियाँ और 60 पेंसिलें विद्यार्थियों में इस तरह बाँटना चाहता है कि हर विद्यार्थी को बराबर मिले और कुछ न बचे। अधिकतम कितने विद्यार्थियों में बाँटा जा सकता है?

  1. A12
  2. B18
  3. C6
  4. D24

व्याख्या

यह HCF(36,60) का प्रश्न है। 36 = 2²×3², 60 = 2²×3×5। HCF = 2²×3 = 12। अतः अधिकतम 12 विद्यार्थियों में बाँटा जा सकता है।

प्रश्न 10

2/3 और 4/9 का HCF क्या है?

  1. A2/9
  2. B4/3
  3. C2/3
  4. D8/27

व्याख्या

भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM = HCF(2,4) ÷ LCM(3,9) = 2 ÷ 9 = 2/9।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET में LCM-HCF से कितने प्रश्न आते हैं?+

आमतौर पर संख्या पद्धति खंड में 1 प्रश्न इस टॉपिक से पूछा जाता है — सीधी गणना या शब्द-समस्या के रूप में; REET 2024 में भी 1 प्रश्न आया था।

HCF और LCM में मुख्य अंतर क्या है?+

HCF दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जबकि LCM उनका सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है। HCF सदैव संख्याओं से छोटा या बराबर, और LCM सदैव बड़ा या बराबर होता है।

दो संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल किसके बराबर होता है?+

दो संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है — यह नियम तीन या अधिक संख्याओं पर लागू नहीं होता।

सहअभाज्य (co-prime) संख्याओं का HCF कितना होता है?+

सहअभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है, भले ही वे संख्याएँ स्वयं अभाज्य न हों — जैसे 8 और 9 सहअभाज्य हैं, पर दोनों में से कोई अभाज्य संख्या नहीं है।

भिन्नों (fractions) का LCM कैसे निकाला जाता है?+

भिन्नों का LCM = अंशों (numerators) का LCM ÷ हरों (denominators) का HCF से निकाला जाता है।

भाग विधि (division method) से HCF कैसे निकालते हैं?+

बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से भाग देते जाएँ — यह प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल शून्य न आ जाए; अंतिम भाजक ही HCF होता है।

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  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए