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REET Level 1+2 · गणित

घातांक (Indices/Exponents) — REET गणित नोट्स

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घातांक REET गणित के सबसे गणनात्मक टॉपिक्स में से एक है, जहाँ शून्य घात, ऋणात्मक घात और भिन्नात्मक घात के नियम एक साथ लागू करने होते हैं। यह पेज सभी नियम, हल किए उदाहरण और REET 2024 के प्रश्नों की व्याख्या देता है।

  • REET 2024 में 2 प्रश्न
  • कक्षा 7–8 स्तर
  • 6 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 में घातांक से दोनों प्रश्न शुद्ध गणनात्मक थे — एक में शून्य घात, ऋणात्मक घात और भिन्न का जोड़ करना था [(2⁰+2⁻¹+2⁻²) = 7/4], दूसरे में वर्गमूल, घनमूल और भिन्नात्मक घात को एक साथ मिलाकर मान निकालना था। यानी यहाँ अलग-अलग नियमों को एक ही व्यंजक में सही क्रम में लगाना सबसे ज़्यादा परखा जाता है।

घातांक के नियम

नियमसूत्रउदाहरण
गुणा का नियमaᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2² × 2³ = 2⁵ = 32
भाग का नियमaᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)5⁴ ÷ 5² = 5² = 25
घात की घात(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ(3²)³ = 3⁶ = 729
शून्य घातa⁰ = 1 (a ≠ 0)100⁰ = 1
ऋणात्मक घातa⁻ⁿ = 1/aⁿ2⁻³ = 1/8
गुणनफल की घात(ab)ᵐ = aᵐbᵐ(2×3)² = 6² = 36
भागफल की घात(a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ(2/3)² = 4/9
भिन्नात्मक घात (मूल)a^(1/n) = n-वाँ मूल a8^(1/3) = 2
ऋणात्मक व भिन्नात्मक घात का संयोजनa^(−1/n) = 1/(n-वाँ मूल a)8^(−1/3) = 1/2

सभी नियम केवल तभी सीधे लागू होते हैं जब आधार (base) समान हो।[स्रोत 1]

भिन्नात्मक घातांक की समझ

a^(p/q) का अर्थ है — पहले a का q-वाँ मूल निकालें, फिर उसे p की घात करें, अर्थात् a^(p/q) = (a^(1/q))^p। REET 2024 के दूसरे प्रश्न में यही नियम तीन पदों में इस्तेमाल हुआ था।

(√64)^(2/3): पहले √64 = 8, फिर 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4। (∛64)^(3/2): पहले ∛64 = 4, फिर 4^(3/2) = (2²)^(3/2) = 2³ = 8। (⁵√32)⁰ = 1, क्योंकि किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 सदैव 1 होती है। कुल मान = 4 + 8 + 1 = 13, जो कि सही उत्तर है।

पहले प्रश्न में 2⁰ + 2⁻¹ + 2⁻² = 1 + 1/2 + 1/4। हर को 4 समान करने पर = 4/4 + 2/4 + 1/4 = 7/4।

सामान्य त्रुटियाँ जो विद्यार्थी करते हैं

a⁰ को 0 समझना
सही नियम: a⁰ = 1 (जब a ≠ 0), शून्य नहीं।
ऋणात्मक घात को ऋणात्मक संख्या समझना
a⁻ⁿ का अर्थ 1/aⁿ है, यह ऋणात्मक संख्या नहीं बल्कि व्युत्क्रम (reciprocal) है — जैसे 2⁻² = 1/4, न कि −4।
भिन्न आधार पर घातांक जोड़ना
aᵐ × bⁿ को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता जब तक आधार (a, b) समान न हों; पहले आधार बराबर करना ज़रूरी है, जैसे 64 को 2⁶ के रूप में लिखना।

मानक रूप (Standard Form) — घातांक का व्यावहारिक प्रयोग

बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को संक्षेप में लिखने के लिए घातांक का प्रयोग करके मानक रूप (standard form) बनाया जाता है — इसे a×10ⁿ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n एक पूर्णांक होता है।

उदाहरण: 45,000 को मानक रूप में 4.5×10⁴ लिखा जाएगा, क्योंकि दशमलव बिंदु को चार स्थान बायें खिसकाना पड़ता है। इसी तरह 0.00032 को मानक रूप में 3.2×10⁻⁴ लिखते हैं, क्योंकि यहाँ दशमलव बिंदु को चार स्थान दायें खिसकाना पड़ता है (इसलिए घातांक ऋणात्मक होता है)। यह प्रयोग विज्ञान व सामाजिक विज्ञान की बड़ी संख्याओं (जैसे जनसंख्या, दूरी) को पढ़ाते समय भी उपयोगी है।

अतिरिक्त हल उदाहरण

(2⁻³ × 2⁵) ÷ 2⁻¹ का मान ज्ञात करें। पहले कोष्ठक में समान आधार होने से घातांक जोड़ें: 2⁻³×2⁵=2²। अब भाग में घातांक घटाएँ: 2²÷2⁻¹=2^(2−(−1))=2³=8। इस तरह चरणबद्ध तरीके से हल करने पर मिश्रित व्यंजक भी आसान हो जाते हैं।

(3²)⁻¹ × 3⁴ का मान ज्ञात करें। पहले (3²)⁻¹=3⁻²। अब 3⁻²×3⁴=3^(−2+4)=3²=9। REET में ऐसे बहु-चरणीय व्यंजक ही सबसे अधिक पूछे जाते हैं, इसलिए हर चरण अलग-अलग लिखकर हल करने की आदत डालें।

(3⁻¹ × 9²) ÷ 3² का मान ज्ञात करें। पहले 9² को आधार 3 में बदलें: 9² = (3²)² = 3⁴। अब गुणा करें: 3⁻¹ × 3⁴ = 3^(−1+4) = 3³। अंत में भाग करें: 3³ ÷ 3² = 3^(3−2) = 3¹ = 3। असमान आधार वाले व्यंजकों में सबसे पहला कदम सदैव सभी पदों को एक ही आधार में बदलना है।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

कक्षा गतिविधि

कक्षा 7 में घातांक के नियम पैटर्न से खोजने दें — बोर्ड पर 2³=8, 2²=4, 2¹=2 लिखवाएँ और पूछें अगला पद क्या होगा। बच्चे खुद पैटर्न (हर बार 2 से भाग) देखकर 2⁰=1 और 2⁻¹=1/2 निकाल लेते हैं, जिससे नियम रटा नहीं बल्कि समझा जाता है।

शिक्षण सहायक सामग्री

घातांक कार्ड बनाकर (जैसे 2², 2⁻¹, 2⁰ लिखे कार्ड) बच्चों से उन्हें बढ़ते-घटते क्रम में लगवाएँ — यह दृश्य क्रम भिन्नात्मक और ऋणात्मक घात की समझ मज़बूत करता है।

सामान्य भ्रांति

बच्चे अक्सर सोचते हैं ऋणात्मक घातांक का मतलब उत्तर ऋणात्मक होगा, और 2⁰ का मतलब 0 होगा। दोनों भ्रांतियों को पैटर्न से हल किए उदाहरणों द्वारा तुरंत सुधारें।

आकलन विचार

मिश्रित घातांक व्यंजक (जैसे PYQ जैसे प्रश्न) हल कराकर देखें कि विद्यार्थी हर नियम सही क्रम में लगा पा रहे हैं या नहीं — यह बहु-चरणीय समझ की सही जाँच है।

अंतर-विषयक जोड़

विज्ञान की कक्षा में मानक रूप (जैसे प्रकाश की गति 3×10⁸ मीटर/सेकंड) का उदाहरण देकर घातांक का व्यावहारिक महत्व दिखाएँ, ताकि बच्चे इसे केवल गणित का अमूर्त नियम न समझें।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

मिश्रित घातांक वाले प्रश्नों में सबसे पहले सभी संख्याओं को एक ही आधार (जैसे 2 या 3) की घात में बदल दें — इससे गुणा-भाग के नियम सीधे लागू हो जाते हैं और उत्तर जल्दी व सही आता है, जैसे 64 को हमेशा 2⁶ मानकर हल करें।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 97

(2⁰ + 2⁻¹ + 2⁻²) का मान है :

  1. A7/4
  2. B4/7
  3. C1/4
  4. D3/4

व्याख्या

घातांक के नियम से a⁰ = 1 और a⁻ⁿ = 1/aⁿ। अतः 2⁰ + 2⁻¹ + 2⁻² = 1 + 1/2 + 1/4 = (4 + 2 + 1)/4 = 7/4। इसलिए (A) सही है; 4/7 उल्टा (व्युत्क्रम) मान है।

प्रश्न 105

(√64)^(2/3) + (∛64)^(3/2) + (⁵√32)⁰ का क्या मान है ?

  1. A14
  2. B194
  3. C193
  4. D13

व्याख्या

(√64)^(2/3) = 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4। (∛64)^(3/2) = 4^(3/2) = (2²)^(3/2) = 2³ = 8। (⁵√32)⁰ = 1, क्योंकि किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 होने पर मान 1 होता है। कुल मान = 4 + 8 + 1 = 13। 0 घात वाले पद को 0 मानने पर 12 आता, और घातों का गलत प्रयोग 14/193/194 जैसे उत्तर देता है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

5⁰ का मान क्या है?

  1. A0
  2. B1
  3. C5
  4. Dअपरिभाषित

व्याख्या

किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 का मान सदैव 1 होता है, अतः 5⁰ = 1।

प्रश्न 2

3⁻² का मान क्या है?

  1. A−9
  2. B−6
  3. C1/9
  4. D9

व्याख्या

ऋणात्मक घात नियम से 3⁻² = 1/3² = 1/9। यह ऋणात्मक संख्या नहीं, बल्कि व्युत्क्रम भिन्न है।

प्रश्न 3

2³ × 2⁴ बराबर है :

  1. A2⁷
  2. B2¹²
  3. C4⁷
  4. D2¹

व्याख्या

समान आधार होने पर घातांक जोड़े जाते हैं: aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, अतः 2³×2⁴ = 2⁷।

प्रश्न 4

(5²)³ का मान क्या है?

  1. A125
  2. B15625
  3. C3125
  4. D625

व्याख्या

घात की घात नियम से (5²)³ = 5⁶ = 15625।

प्रश्न 5

यदि 2ˣ = 32, तो x का मान क्या है?

  1. A4
  2. B5
  3. C6
  4. D16

व्याख्या

32 = 2⁵, अतः 2ˣ=2⁵ से x=5।

प्रश्न 6

4^(3/2) का मान क्या है?

  1. A6
  2. B8
  3. C12
  4. D64

व्याख्या

4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8।

प्रश्न 7

(1/3)⁻³ का मान क्या है?

  1. A1/27
  2. B−27
  3. C27
  4. D9

व्याख्या

ऋणात्मक घात से (1/3)⁻³ = 3³ = 27।

प्रश्न 8

aᵐ ÷ aⁿ (a ≠ 0) बराबर है :

  1. Aaᵐ⁺ⁿ
  2. Baᵐ⁻ⁿ
  3. Caᵐⁿ
  4. Daⁿ⁻ᵐ

व्याख्या

भाग के नियम से समान आधार होने पर घातांक घटाए जाते हैं: aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ।

प्रश्न 9

यदि 3^(2x−1) = 27, तो x का मान क्या होगा?

  1. A1
  2. B1.5
  3. C2
  4. D2.5

व्याख्या

27 = 3³, अतः 2x−1=3 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2।

प्रश्न 10

कक्षा 7 में घातांक के नियम a⁰=1 को विद्यार्थियों को सहजता से समझाने के लिए सबसे उपयुक्त शिक्षण विधि कौन-सी है?

  1. Aपैटर्न विधि — 2³,2²,2¹ के मान लिखकर आगे का पैटर्न स्वयं निकलवाना
  2. Bसीधे सूत्र रटवाना
  3. Cकेवल परिभाषा बोर्ड पर लिखना
  4. Dविद्यार्थियों को स्वयं समझने के लिए छोड़ देना

व्याख्या

पैटर्न विधि (constructivist approach) में बच्चे स्वयं देखते हैं कि हर बार आधार से भाग देने पर मान कैसे बदलता है, जिससे नियम समझ में आता है, रटा नहीं जाता — यह प्रभावी शिक्षण-अधिगम विधि है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET में घातांक से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से गणित खंड में 1–2 प्रश्न पूछे गए, दोनों मिश्रित घातांक व्यंजकों के मान निकालने पर आधारित थे।

a⁰ का मान क्या होता है?+

जब a शून्य नहीं है, तो a⁰ का मान सदैव 1 होता है, चाहे a कितनी भी बड़ी या छोटी संख्या हो।

ऋणात्मक घातांक का क्या अर्थ है?+

ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम (reciprocal) दर्शाता है — a⁻ⁿ = 1/aⁿ। यह संख्या को ऋणात्मक नहीं बनाता।

क्या घातांक भिन्न (fraction) भी हो सकता है?+

हाँ, भिन्नात्मक घातांक मूल (root) दर्शाता है — a^(1/n) का अर्थ है a का n-वाँ मूल।

मानक रूप (standard form) क्यों प्रयोग किया जाता है?+

बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को संक्षेप में और तुलनीय ढंग से लिखने के लिए इसे a×10ⁿ के रूप में प्रयोग किया जाता है, जहाँ 1 ≤ a < 10।

क्या एक ही व्यंजक में कई घातांक नियम एक साथ लागू हो सकते हैं?+

हाँ, REET के अधिकांश प्रश्नों में गुणा, भाग, शून्य घात और भिन्नात्मक घात जैसे कई नियम एक ही व्यंजक में क्रमवार लागू करने होते हैं।

क्या घातांक का आधार (base) ऋणात्मक हो सकता है?+

हाँ, आधार ऋणात्मक भी हो सकता है — जैसे (−2)² = 4 (सम घात होने पर धनात्मक) और (−2)³ = −8 (विषम घात होने पर ऋणात्मक)।

1 की कोई भी घात का मान क्या होता है?+

1 की कोई भी घात (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य) सदैव 1 ही रहती है, क्योंकि 1 को कितनी भी बार गुणा करने पर मान 1 ही रहता है।

यदि घातांक (exponent) समान हो पर आधार भिन्न हों, तो नियम कैसे लगेगा?+

ऐसी स्थिति में गुणनफल की घात नियम लगता है: aᵐ×bᵐ=(ab)ᵐ। जैसे 2³×3³=(2×3)³=6³=216 — यहाँ आधार भिन्न (2, 3) हैं पर घात समान (3) है, इसलिए दोनों आधारों को पहले गुणा किया जाता है।

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आधिकारिक स्रोत

  1. NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)
  2. राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (BSER) — REET आधिकारिक जानकारी

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए