REET गणित

रैखिक समीकरण (Linear Equations) — REET गणित नोट्स

एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल करना REET गणित पेपर के बीजगणित खंड का एक नियमित रूप से पूछा जाने वाला कौशल है। इस पेज में व्यत्क्रमण (transposition) विधि, हल करने के चरण और शब्द-समस्याओं को समीकरण में बदलने का तरीका उदाहरण सहित समझाया गया है, ताकि उम्र, संख्या और राशि जैसी शब्द-समस्याएँ आसानी से हल हो सकें।

REET 2024 में 0 प्रश्न
कक्षा 7–8 स्तर
9 मिनट पढ़ें

16 सितंबर 2026 को सत्यापित

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET गणित पाठ्यक्रम के बीजगणित खंड में समीकरण (Equations) जैसी मूल इकाइयाँ शामिल हैं। REET 2024 के प्रश्नपत्र में इस विशिष्ट उप-टॉपिक से सीधा प्रश्न नहीं आया, इसलिए यह पेज पाठ्यक्रम व NCERT कक्षा 7-8 की गणित पाठ्यपुस्तक के मानक तथ्यों पर आधारित है। सामान्यतः प्रश्न में एक चर वाला सरल समीकरण हल करने या किसी शब्द-समस्या को समीकरण में बदलकर हल करने के लिए पूछा जाता है। उम्र, संख्याओं के योग-अंतर और आयत के परिमाप जैसी शब्द-समस्याएँ सबसे अधिक दोहराई जाती हैं, इसलिए इनका अभ्यास विशेष रूप से जरूरी है।

रैखिक समीकरण की परिभाषा

जिस समीकरण में चर की उच्चतम घात 1 हो, उसे रैखिक समीकरण (Linear Equation) कहते हैं — जैसे x − 2 = 7 या 3x + 5 = 20। इसे हल करने का अर्थ है चर का वह मान ज्ञात करना, जिस पर समीकरण के दोनों पक्ष (LHS व RHS) बराबर हो जाएँ।

समीकरण (Equation) और व्यंजक (Expression) में मूल अंतर यह है कि समीकरण में हमेशा एक 'बराबर' (=) चिह्न होता है, जबकि व्यंजक में नहीं — जैसे '3x + 5' एक व्यंजक है, पर '3x + 5 = 20' एक समीकरण है। समीकरण का हल निकालने पर चर का एक निश्चित मान मिलता है, जबकि व्यंजक का मान चर के हर अलग मान पर अलग-अलग हो सकता है।

समीकरण हल करने के नियम

नियम	व्याख्या	उदाहरण
समान संक्रिया नियम	समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने, घटाने, गुणा या भाग करने से समीकरण नहीं बदलता	6x = 12 → दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर x = 2
व्यत्क्रमण (Transposition) नियम	किसी पद को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है (+ से −, − से +)	x − 2 = 7 → x = 7 + 2 = 9

व्यत्क्रमण वास्तव में समान संक्रिया नियम का ही छोटा रूप है — दोनों पक्षों में वही संख्या जोड़ने/घटाने की जगह सीधे पद का चिह्न बदलकर दूसरी ओर लिख देते हैं

हल करने के चरण

चरण 1: सभी चर-पदों को समीकरण के एक पक्ष में और अचर (संख्या वाले) पदों को दूसरे पक्ष में लाएँ (व्यत्क्रमण से)
चरण 2: दोनों पक्षों पर समान पदों को आपस में जोड़/घटाकर समीकरण को सरल रूप में लाएँ
चरण 3: चर के गुणांक से दोनों पक्षों को भाग देकर चर का मान ज्ञात करें
चरण 4: प्राप्त मान को मूल समीकरण में रखकर जाँच (verification) करें
सावधानी: यदि समीकरण में कोष्ठक हों, तो पहले कोष्ठक खोलें (गुणा करें), उसके बाद ही व्यत्क्रमण की प्रक्रिया शुरू करें

हल किया हुआ उदाहरण

उदाहरण: 5x − 3 = 3x + 7 को हल करें। चर-पदों को बाईं ओर और अचर-पदों को दाईं ओर लाने पर: 5x − 3x = 7 + 3, अर्थात 2x = 10, अतः x = 5। जाँच: बाईं ओर 5(5) − 3 = 22, दाईं ओर 3(5) + 7 = 22 — दोनों पक्ष बराबर हैं, अतः x = 5 सही हल है। जाँच का यह चरण परीक्षा में भी उपयोगी है, क्योंकि इससे विकल्पों में दिए गए गलत उत्तर आसानी से खारिज किए जा सकते हैं।

शब्द-समस्या (Word Problem) उदाहरण

समस्या	समीकरण	हल
दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।	माना छोटी संख्या = a, बड़ी संख्या = a + 15; अतः a + (a + 15) = 95	2a + 15 = 95 ⟹ 2a = 80 ⟹ a = 40; संख्याएँ 40 और 55 हैं
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 सेमी अधिक है और परिमाप 34 सेमी है। चौड़ाई ज्ञात कीजिए।	माना चौड़ाई = a, लंबाई = a + 5; परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 34	2(a + a + 5) = 34 ⟹ 2(2a + 5) = 34 ⟹ 4a + 10 = 34 ⟹ 4a = 24 ⟹ a = 6 सेमी

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कक्षा गतिविधि

एक भौतिक तुला (balance scale) का चित्र बनाकर दिखाएँ कि समीकरण के दोनों पक्ष संतुलन में हैं; किसी एक पक्ष में संख्या जोड़ने पर दूसरे पक्ष में भी वही संख्या जोड़नी होगी ताकि संतुलन बना रहे — इसे बार-बार अलग-अलग समीकरणों पर दोहराएँ।

शिक्षण सामग्री

चर के लिए एक अज्ञात-भार वाला डिब्बा और अचर के लिए वज़न के गुटके इस्तेमाल कर 'x + 3 = 8' जैसे सरल समीकरणों को मूर्त रूप में हल करवाएँ, फिर धीरे-धीरे कठिन समीकरणों की ओर बढ़ें।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर व्यत्क्रमण करते समय पद का चिह्न बदलना भूल जाते हैं (जैसे x − 2 = 7 से x = 7 − 2 लिख देते हैं); बार-बार 'पक्ष बदलो, चिह्न बदलो' दोहराकर और हर हल के बाद जाँच करवाकर यह भ्रांति दूर करें।

आकलन विचार

विद्यार्थियों को अपनी उम्र, पॉकेट-मनी या भाई-बहन की उम्र जैसी वास्तविक स्थितियों पर आधारित शब्द-समस्याएँ बनाने और उन्हें समीकरण में बदलकर हल करने को कहें, फिर कक्षा में समाधान साझा करवाएँ और एक-दूसरे के हल की जाँच भी करवाएँ।

याद रखने की ट्रिक

'पक्ष बदलो तो चिह्न बदलो' — व्यत्क्रमण में जब भी कोई पद बराबर के चिह्न के दूसरी ओर जाता है, उसका जोड़-घटाव का चिह्न पलट जाता है; यही REET में सबसे ज्यादा काम आने वाला नियम है। शब्द-समस्या हल करते समय हमेशा पहले अज्ञात राशि को x मानकर समीकरण लिखें, फिर हल निकालें और अंत में मूल प्रश्न से मिलाकर जाँच करें।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

समीकरण x + 5 = 12 का हल है—

Ax = 5
Bx = 7
Cx = 17
Dx = 8

व्याख्या

व्यत्क्रमण से x = 12 − 5 = 7।

प्रश्न 2

समीकरण 4x = 20 का हल है—

Ax = 4
Bx = 5
Cx = 16
Dx = 24

व्याख्या

दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर x = 20 ÷ 4 = 5।

प्रश्न 3

समीकरण 3x − 7 = 8 का हल है—

Ax = 3
Bx = 5
Cx = 1
Dx = 15

व्याख्या

व्यत्क्रमण से 3x = 8 + 7 = 15, अतः x = 15 ÷ 3 = 5।

प्रश्न 4

समीकरण 2x + 3 = x + 9 का हल है—

Ax = 6
Bx = 3
Cx = −6
Dx = 12

व्याख्या

चर-पद एक ओर और अचर-पद दूसरी ओर लाने पर: 2x − x = 9 − 3, अतः x = 6। जाँच: LHS = 2(6)+3 = 15, RHS = 6+9 = 15।

प्रश्न 5

समीकरण 5(x − 2) = 20 का हल है—

Ax = 4
Bx = 6
Cx = 2
Dx = 10

व्याख्या

5x − 10 = 20 ⟹ 5x = 30 ⟹ x = 6।

प्रश्न 6

किसी संख्या के तीन गुने में 7 जोड़ने पर 34 प्राप्त होता है। वह संख्या है—

व्याख्या

3x + 7 = 34 ⟹ 3x = 27 ⟹ x = 9।

प्रश्न 7

दो संख्याओं का योग 60 है और उनका अंतर 10 है। बड़ी संख्या है—

व्याख्या

माना बड़ी संख्या a और छोटी b है: a + b = 60, a − b = 10; दोनों जोड़ने पर 2a = 70, अतः a = 35।

प्रश्न 8

रवि की आयु उसके पुत्र की आयु से 4 गुनी है। दोनों की आयु का योग 40 वर्ष है। पुत्र की आयु है—

A8 वर्ष
B10 वर्ष
C32 वर्ष
D6 वर्ष

व्याख्या

माना पुत्र की आयु x, रवि की आयु 4x; x + 4x = 40 ⟹ 5x = 40 ⟹ x = 8।

प्रश्न 9

समीकरण (x/3) + 2 = 7 का हल है—

Ax = 5
Bx = 10
Cx = 15
Dx = 21

व्याख्या

x/3 = 7 − 2 = 5, अतः x = 5 × 3 = 15।

प्रश्न 10

कक्षा 7 के शिक्षक विद्यार्थियों को तुला (balance scale) मॉडल से 'x + 3 = 8' समीकरण हल करना सिखा रहे हैं। इस विधि से विद्यार्थी सबसे अच्छी तरह क्या समझते हैं?

Aसमीकरण के दोनों पक्षों में समान संक्रिया करने पर संतुलन (बराबरी) बना रहता है
Bसमीकरण को हल करने की कोई आवश्यकता नहीं
Cचर का मान हमेशा शून्य होता है
Dसमीकरण केवल गुणा से हल होते हैं

व्याख्या

तुला मॉडल दृश्य रूप से दिखाता है कि दोनों पक्षों में समान संक्रिया करने पर ही समीकरण का संतुलन (सत्यता) बना रहता है — यह रैखिक समीकरण हल करने की मूल अवधारणा है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

रैखिक समीकरण REET में कैसे पूछे जाते हैं?+

प्रायः एक चर वाले सरल समीकरण को हल करने या किसी शब्द-समस्या को समीकरण में बदलकर हल करने के रूप में पूछे जाते हैं।

व्यत्क्रमण (Transposition) विधि क्या है?+

इसमें समीकरण के किसी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने पर उसका चिह्न बदल दिया जाता है (धनात्मक से ऋणात्मक या इसके विपरीत), जिससे समीकरण का मान नहीं बदलता।

रैखिक समीकरण का हल जाँचने का तरीका क्या है?+

प्राप्त मान को मूल समीकरण के चर के स्थान पर रखकर देखें कि समीकरण के दोनों पक्ष (LHS और RHS) बराबर आते हैं या नहीं।

एक चर वाले रैखिक समीकरण में चर की अधिकतम घात कितनी होती है?+

एक चर वाले रैखिक समीकरण में चर की घात सदैव 1 होती है; घात 2 या अधिक होने पर वह द्विघात (quadratic) या उच्च कोटि का समीकरण बन जाता है, रैखिक नहीं रहता।

समीकरण और व्यंजक में क्या अंतर है?+

समीकरण में हमेशा 'बराबर' (=) चिह्न होता है और उसका एक निश्चित हल मिलता है, जबकि व्यंजक में बराबर चिह्न नहीं होता और उसका मान चर के हर मान पर बदलता रहता है।

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