बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) — REET गणित नोट्स
बीजीय व्यंजक चर और अचर राशियों को जोड़-घटाव-गुणा से जोड़कर बनते हैं, और REET गणित पेपर के बीजगणित (Algebra) खंड की बुनियाद हैं। इस पेज में पद, गुणांक, घात, समान-असमान पद और व्यंजकों के प्रकार उदाहरण सहित समझाए गए हैं, ताकि आगे गुणनखंड और समीकरण जैसे टॉपिक आसान बन सकें।
- REET 2024 में 0 प्रश्न
- कक्षा 7 स्तर
- 9 मिनट पढ़ें
REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है
REET गणित पाठ्यक्रम के बीजगणित (Algebra) खंड में बीजीय व्यंजक जैसी मूल इकाइयाँ शामिल हैं। REET 2024 के प्रश्नपत्र में इस विशिष्ट उप-टॉपिक से सीधा प्रश्न नहीं आया, इसलिए यह पेज पाठ्यक्रम व NCERT कक्षा 7 की गणित पाठ्यपुस्तक के मानक तथ्यों पर आधारित है। सामान्यतः प्रश्न में किसी व्यंजक के पद/गुणांक/घात पहचानने या दो व्यंजकों को जोड़ने-घटाने के रूप में पूछे जाते हैं। कभी-कभी किसी व्यंजक को एकपदी/द्विपदी/त्रिपदी में वर्गीकृत करने या चर का मान देकर व्यंजक का मान निकालने के लिए भी पूछा जाता है।
बीजीय व्यंजक क्या है
जब चरों (variables, जैसे x, y) और अचरों (constants, जैसे 2, −5) को जोड़, घटाव, गुणा या भाग की संक्रियाओं से जोड़ा जाता है, तो बनने वाली राशि को बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) कहते हैं — जैसे 5x + 3y − 7। व्यंजक के प्रत्येक भाग, जो जोड़/घटाव चिह्न से अलग हो, उसे पद (Term) कहते हैं।
बीजगणित संख्याओं के सामान्य अंकगणित से आगे बढ़कर अज्ञात राशियों के साथ काम करना सिखाता है। जहाँ अंकगणित में केवल निश्चित संख्याओं (जैसे 5 + 3) से गणना होती है, वहीं बीजगणित में x, y जैसे प्रतीकों की मदद से सामान्य नियम और सूत्र लिखे जाते हैं, जो किसी भी मान के लिए सत्य रहते हैं — यही बीजीय व्यंजक की सबसे बड़ी उपयोगिता है।
बीजीय व्यंजक आगे चलकर गुणनखंड (factorisation), सर्वसमिकाओं (identities) और रैखिक समीकरणों जैसे कई महत्वपूर्ण टॉपिक की बुनियाद बनते हैं। इसलिए पद, गुणांक और समान-असमान पद जैसी मूल अवधारणाएँ स्पष्ट होने पर ही आगे के जटिल टॉपिक आसानी से समझ आते हैं — REET गणित की तैयारी में यह टॉपिक इसीलिए सबसे पहले पढ़ने की सलाह दी जाती है।
व्यंजक से जुड़े मूल शब्द
| शब्द | अर्थ | उदाहरण (3x² − 5xy + 7) |
|---|---|---|
| चर (Variable) | वह राशि जिसका मान बदल सकता है | x, y |
| अचर (Constant) | निश्चित मान वाली राशि | 7 |
| पद (Term) | व्यंजक का वह भाग जो + या − चिह्न से अलग हो | 3x², −5xy, 7 |
| गुणांक (Coefficient) | किसी पद में चर के साथ गुणा होने वाली संख्या | 3x² में गुणांक 3 है; −5xy में गुणांक −5 है |
| घात (Degree) | पद में चरों की घातों का योग, व्यंजक में सबसे बड़ा घात | 3x² का घात 2; −5xy का घात 2 (1+1); अतः व्यंजक का घात 2 |
पदों की संख्या के आधार पर व्यंजक के प्रकार
| प्रकार | परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| एकपदी (Monomial) | केवल एक पद वाला व्यंजक | 5x, −3ab, 7 |
| द्विपदी (Binomial) | दो असमान पदों वाला व्यंजक | 2a + 3b, x² − 5 |
| त्रिपदी (Trinomial) | तीन असमान पदों वाला व्यंजक | a + 2b + 5c |
| बहुपद (Polynomial) | एक या अधिक पदों वाला सामान्य व्यंजक | x³ + 2x² − x + 1 |
'बहुपद' शब्द व्यापक अर्थ में एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी — तीनों को भी सम्मिलित करता है
समान व असमान पद
- समान पद (Like Terms)
- जिन पदों में चर व उनकी घातें समान हों, केवल गुणांक भिन्न हो सकता है — जैसे 5x और −3x
- असमान पद (Unlike Terms)
- जिन पदों में चर या उनकी घातें भिन्न हों — जैसे 5x और 4x²y
- जोड़-घटाव का नियम
- केवल समान पदों को ही सीधे जोड़ा या घटाया जा सकता है; असमान पद वैसे ही व्यंजक में रहते हैं
- पहचानने की तरकीब
- दो पद तभी समान माने जाएँगे जब उनके सभी चर और हर चर की घात दोनों बिल्कुल एक-जैसे हों — गुणांक चाहे जो भी हो
व्यंजक का मूल्यांकन (Evaluation)
किसी बीजीय व्यंजक का मूल्यांकन करने का अर्थ है चर के स्थान पर दिया गया संख्यात्मक मान रखकर व्यंजक का मान ज्ञात करना। उदाहरण: यदि x = 2 और y = 3 हो, तो व्यंजक 3x² − 5xy + 2y² − 7 का मान होगा — 3(2)² − 5(2)(3) + 2(3)² − 7 = 12 − 30 + 18 − 7 = −7। मूल्यांकन करते समय पहले घातों को हल करें, फिर गुणा, और अंत में जोड़-घटाव — यही संक्रियाओं का सही क्रम (BODMAS) है।
मूल्यांकन करते समय एक आम भूल यह होती है कि ऋणात्मक मान रखते समय कोष्ठक (bracket) नहीं लगाया जाता, जिससे चिह्न की गलती हो जाती है — जैसे x = −2 रखते समय 3x² को 3(−2)² लिखना चाहिए, न कि 3−2², क्योंकि दोनों के परिणाम अलग-अलग आएँगे। इसलिए ऋणात्मक मान को हमेशा कोष्ठक में रखकर ही व्यंजक में डालें।
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कक्षा गतिविधि
माचिस की तीलियों या कंचों के समूह बनाकर 'x संख्या में तीलियाँ' जैसी भाषा से चर (variable) का भाव समझाएँ, फिर दो अलग समूहों को जोड़कर व्यंजक बनवाएँ और अलग-अलग x के मान रखकर जाँच करवाएँ।
शिक्षण सामग्री
अलग-अलग रंग के कार्ड पर पद लिखें (जैसे 3x हरा, 5y नीला) और विद्यार्थियों से समान रंग (समान चर) वाले पदों को ही जोड़ने का अभ्यास कराएँ, असमान रंग वालों को अलग-अलग छोड़ने पर जोर दें।
सामान्य भ्रांति
विद्यार्थी अक्सर 5x और 5x² को समान पद मान लेते हैं, जबकि घात भिन्न होने के कारण ये असमान पद हैं और इन्हें सीधे जोड़ा नहीं जा सकता — मान रखकर उदाहरण से यह भ्रम दूर करें।
आकलन विचार
विद्यार्थियों को 8-10 मिश्रित पदों की सूची देकर उन्हें समान-पदों के समूहों में छाँटने और प्रत्येक समूह को जोड़ने को कहें, फिर एक चर-मान देकर पूरे व्यंजक का मूल्यांकन भी करवाएँ।
याद रखने की ट्रिक
जोड़ने-घटाने से पहले 'चर-जाँच' करें — दो पदों को तभी जोड़ें या घटाएँ जब उनके चर और घात दोनों बिल्कुल समान हों; वरना उन्हें अलग-अलग ही लिखें। घटाव में भूल से बचने के लिए घटाए जाने वाले व्यंजक के हर पद का चिह्न पहले बदल लें, फिर समान पदों को जोड़ें — यह तरीका गलती की संभावना बहुत कम कर देता है।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1
5x + 3y − 2 व्यंजक में पदों की संख्या है—
- A2
- B3
- C4
- D1
व्याख्या
इस व्यंजक में तीन पद हैं — 5x, 3y और −2।
प्रश्न 2
व्यंजक 7ab में गुणांक है—
- Aa
- Bb
- C7
- Dab
व्याख्या
पद 7ab में चर 'ab' के साथ गुणा होने वाली संख्या 7 गुणांक है।
प्रश्न 3
निम्नलिखित में से कौन-सी एकपदी (monomial) है?
- A5x + 3
- Bx² − y²
- C7xy
- Da + b + c
व्याख्या
'7xy' में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है; शेष विकल्पों में दो या अधिक पद हैं।
प्रश्न 4
5x² और −3x² किस प्रकार के पद हैं?
- Aअसमान पद
- Bसमान पद
- Cअचर पद
- Dइनमें से कोई नहीं
व्याख्या
दोनों पदों में चर 'x' और उसकी घात '2' समान है, केवल गुणांक भिन्न है, अतः ये समान पद हैं।
प्रश्न 5
3x² − 5xy + 2y² − 7 व्यंजक का घात है—
- A1
- B2
- C3
- D4
व्याख्या
प्रत्येक पद की घातों का योग: 3x² का घात 2, −5xy का घात 1+1=2, 2y² का घात 2, −7 का घात 0; सबसे बड़ा घात 2 है, अतः व्यंजक का घात 2 है।
प्रश्न 6
(5x + 3y) और (2x − y) को जोड़ने पर प्राप्त व्यंजक है—
- A7x + 2y
- B3x + 4y
- C7x + 4y
- D3x + 2y
व्याख्या
समान पदों को जोड़ें: 5x + 2x = 7x और 3y + (−y) = 2y, अतः योग 7x + 2y है।
प्रश्न 7
(7a − 4b) में से (3a − 2b) घटाने पर प्राप्त व्यंजक है—
- A4a − 2b
- B4a − 6b
- C10a − 6b
- D4a + 2b
व्याख्या
(7a − 4b) − (3a − 2b) = 7a − 4b − 3a + 2b = 4a − 2b।
प्रश्न 8
किसी व्यंजक में तीन असमान पद 2x, −3y और 5 हैं। इस व्यंजक को क्या कहा जाएगा?
- Aएकपदी
- Bद्विपदी
- Cत्रिपदी
- Dसमान पदों का व्यंजक
व्याख्या
तीन असमान पदों वाला व्यंजक त्रिपदी (Trinomial) कहलाता है।
प्रश्न 9
x²y का घात है—
- A1
- B2
- C3
- D0
व्याख्या
घात = x की घात (2) + y की घात (1) = 3।
प्रश्न 10
कक्षा 7 के विद्यार्थी 5x और 5x² को समान पद मान लेते हैं। शिक्षक इस भ्रांति को दूर करने के लिए सबसे उपयुक्त कदम कौन-सा उठाएँ?
- Aविद्यार्थियों को बताएँ कि समान पद के लिए चर के साथ-साथ घात भी समान होनी चाहिए, और x=2 रखकर x तथा x² के अलग-अलग मान (2 और 4) दिखाकर अंतर स्पष्ट करें
- Bविषय पर आगे चर्चा न करें
- Cकेवल परिभाषा दोहराएँ
- Dविद्यार्थियों को बिना स्पष्टीकरण गलत बताकर आगे बढ़ें
व्याख्या
मान रखकर ठोस उदाहरण दिखाने से विद्यार्थी समझ पाते हैं कि घात भिन्न होने पर पद असमान हो जाते हैं, भले ही चर एक जैसा दिखे।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
बीजीय व्यंजक REET में कैसे पूछे जाते हैं?+
प्रायः किसी व्यंजक के पद, गुणांक या घात पहचानने, या दो व्यंजकों को जोड़ने-घटाने जैसे सरल संगणनात्मक प्रश्नों के रूप में पूछे जाते हैं।
एकपदी और द्विपदी में क्या अंतर है?+
एकपदी में केवल एक पद होता है (जैसे 5x), जबकि द्विपदी में दो असमान पद जुड़े/घटे रूप में होते हैं (जैसे 2a + 3b)।
समान पद कैसे पहचानें?+
जिन पदों में चर और उनकी घातें बिल्कुल समान हों, केवल गुणांक अलग हो सकता है, वे समान पद कहलाते हैं — जैसे 4x² और −7x²।
व्यंजक का घात (degree) कैसे निकालते हैं?+
प्रत्येक पद में मौजूद चरों की घातों का योग निकालें, फिर सभी पदों में सबसे बड़ा योग ही व्यंजक का घात होता है।
व्यंजक का मूल्यांकन (evaluation) क्या होता है?+
चर के स्थान पर कोई निश्चित संख्यात्मक मान रखकर व्यंजक का मान निकालना मूल्यांकन कहलाता है — जैसे x = 2 रखने पर 3x + 1 का मान 3(2) + 1 = 7 होगा।
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- 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए