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REET Level 1+2 · गणित

औसत (Average) — REET गणित नोट्स

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औसत REET गणित में क्रमागत संख्याओं, वर्गों-घनों और औसत गति तक फैला व्यावहारिक टॉपिक है। यह पेज सभी सूत्र, सावधानियाँ और REET 2024 के हल प्रश्न एक साथ देता है।

  • REET 2024 में 2 प्रश्न
  • कक्षा 6–7 स्तर
  • 6 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 में एक प्रश्न चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत देकर सबसे बड़ी संख्या पूछता है, दूसरा प्रश्न प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत पूछता है। यानी यहाँ सीधा 'औसत निकालो' पूछने की बजाय, औसत के सूत्र को क्रमागत संख्याओं या विशेष श्रेणियों (वर्ग, घन) के साथ जोड़कर परखा जाता है।

औसत के प्रमुख सूत्र

स्थितिसूत्र
सामान्य औसतऔसत = सभी प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या
n क्रमागत संख्याओं का औसत(पहली संख्या + अंतिम संख्या) ÷ 2
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत(n+1)/2
प्रथम n सम संख्याओं का औसतn+1
प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत(n+1)(2n+1)/6
प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का औसतn(n+1)²/4
औसत गति (बराबर दूरी, दो चालें x व y)2xy/(x+y)

औसत गति के लिए साधारण औसत (x+y)/2 का प्रयोग गलत है जब दूरी बराबर हो और चालें अलग हों।[स्रोत 1]

हल किए उदाहरण (REET 2024 आधारित)

चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत 23 है — सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करनी है। संख्याओं को x, x+2, x+4, x+6 मान लें। औसत = (4x+12)/4 = x+3 = 23, अतः x=20। संख्याएँ 20, 22, 24, 26 हुईं — सबसे बड़ी संख्या 26 है।

प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत: घन हैं 1, 8, 27, 64, 125, जिनका योग 225 है (सूत्र [n(n+1)/2]² से n=5: (15)²=225)। औसत = 225÷5 = 45।

औसत गति — एक सावधानी

जब कोई व्यक्ति समान दूरी दो अलग-अलग चालों से तय करता है, तो औसत चाल दोनों चालों का सामान्य (arithmetic) औसत नहीं, बल्कि हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है — सूत्र: 2xy/(x+y)। उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 20 किमी/घंटा की गति से जाता है और वापसी वही दूरी 30 किमी/घंटा से तय करता है, तो औसत गति = (2×20×30)/(20+30) = 1200/50 = 24 किमी/घंटा होगी, न कि (20+30)/2=25 किमी/घंटा। यह भ्रांति REET जैसी परीक्षाओं में बहुत आम है।

भारित औसत (Weighted Average)

जब दो या अधिक समूहों के अलग-अलग औसत और अलग-अलग सदस्य-संख्या हो, तो सम्मिलित (मिलाकर) औसत निकालने के लिए भारित औसत का प्रयोग होता है: भारित औसत = (हर समूह का योग जोड़कर) ÷ (कुल सदस्यों की संख्या)।

उदाहरण: एक कक्षा में 30 लड़कों का औसत भार 40 किग्रा है और 20 लड़कियों का औसत भार 35 किग्रा है। पूरी कक्षा (50 विद्यार्थी) का औसत भार = (30×40 + 20×35) ÷ 50 = (1200+700) ÷ 50 = 1900 ÷ 50 = 38 किग्रा। ध्यान दें कि यह उत्तर दोनों औसतों (40 और 35) के सामान्य औसत 37.5 के बराबर नहीं है, क्योंकि दोनों समूहों की सदस्य-संख्या अलग-अलग है।

औसत बदलने के नियम

सभी संख्याओं में समान मान जोड़ने पर
नया औसत = पुराना औसत + वह मान। उदाहरण: 5 संख्याओं का औसत 30 है; हर संख्या में 4 जोड़ने पर नया औसत = 34।
सभी संख्याओं को समान मान से गुणा करने पर
नया औसत = पुराना औसत × वह मान। उदाहरण: औसत 30 है; हर संख्या को 2 से गुणा करने पर नया औसत = 60।

औसत, माध्यिका और बहुलक — संक्षिप्त अंतर

औसत (मीन) आँकड़ों का 'केंद्रीय प्रतिनिधि' मान है, जो सभी संख्याओं को ध्यान में रखकर निकाला जाता है। इसके विपरीत माध्यिका (median) क्रमबद्ध आँकड़ों की बीच वाली संख्या होती है और बहुलक (mode) सबसे अधिक बार आने वाली संख्या होती है — तीनों अगले टॉपिक 'माध्य, माध्यिका, बहुलक' में विस्तार से पढ़ाए जाते हैं। REET में यह भेद पहचानना ज़रूरी है, क्योंकि एक जैसे दिखने वाले प्रश्न अलग-अलग माप माँग सकते हैं।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

कक्षा गतिविधि

कक्षा 6-7 में विद्यार्थियों के बीच कंचे या पेंसिलें असमान मात्रा में बाँटकर उन्हें आपस में 'बराबर-बराबर' करने को कहें — इस 'बराबरीकरण' (levelling) की प्रक्रिया से औसत की अवधारणा भौतिक रूप से समझ आती है।

शिक्षण सहायक सामग्री

अलग-अलग ऊँचाई की पट्टियाँ (जैसे ब्लॉक टावर) दिखाकर पूछें कि सबकी ऊँचाई बराबर करने पर हर टावर की ऊँचाई कितनी होगी — यह भी 'औसत' का दृश्य प्रदर्शन है।

सामान्य भ्रांति

बच्चे अक्सर सोचते हैं औसत हमेशा दी गई संख्याओं में से एक होना चाहिए, या औसत गति को दो चालों का साधारण औसत मान लेते हैं — दोनों भ्रांतियाँ उदाहरण देकर दूर करें।

आकलन विचार

कक्षा के किसी विषय की वास्तविक परीक्षा में प्राप्तांकों का औसत निकलवाकर देखें कि विद्यार्थी सूत्र सही ढंग से लगा पा रहे हैं या नहीं।

अंतर-विषयक जोड़

खेल-कूद की कक्षा में विद्यार्थियों की दौड़ के समय या ऊँची कूद की दूरी का औसत निकलवाकर गणित को शारीरिक शिक्षा से जोड़ें — इससे अवधारणा रोचक और यादगार बनती है।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

क्रमागत संख्याओं (AP) का औसत हमेशा सबसे तेज़ तरीके से (पहली + अंतिम) ÷ 2 से निकलता है — पूरा योग बनाने की ज़रूरत नहीं। और जहाँ भी 'दूरी बराबर, चाल अलग' वाली स्थिति दिखे, वहाँ सीधे साधारण औसत की जगह 2xy/(x+y) सूत्र लगाएँ।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 116

चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत 23 है, इनमें सबसे बड़ी संख्या है

  1. A26
  2. B24
  3. C20
  4. D18

व्याख्या

चार क्रमागत सम संख्याएँ x, x+2, x+4, x+6 मानें। औसत = (4x + 12)/4 = x + 3 = 23 ⇒ x = 20। संख्याएँ 20, 22, 24, 26 हैं, अतः सबसे बड़ी संख्या 26 है।

प्रश्न 120

प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत है

  1. A40
  2. B64
  3. C45
  4. D50

व्याख्या

प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याओं के घन: 1, 8, 27, 64, 125; योग = 225 (सूत्र [n(n+1)/2]² = 15² = 225)। औसत = 225/5 = 45।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

10, 20, 30, 40 का औसत क्या है?

  1. A20
  2. B25
  3. C30
  4. D35

व्याख्या

योग=100, औसत=100÷4=25।

प्रश्न 2

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का औसत क्या है?

  1. A5
  2. B5.5
  3. C6
  4. D10

व्याख्या

सूत्र (n+1)/2 से n=10: 11/2=5.5।

प्रश्न 3

पाँच क्रमागत प्राकृत संख्याओं का औसत 18 है, तो सबसे छोटी संख्या क्या है?

  1. A14
  2. B15
  3. C16
  4. D17

व्याख्या

5 क्रमागत संख्याओं में मध्य संख्या ही औसत होती है, अतः मध्य संख्या=18। संख्याएँ 16,17,18,19,20; सबसे छोटी=16।

प्रश्न 4

5 संख्याओं का औसत 20 है। उनमें से एक संख्या हटाने पर शेष 4 का औसत 18 हो जाता है। हटाई गई संख्या क्या है?

  1. A22
  2. B24
  3. C26
  4. D28

व्याख्या

5 संख्याओं का योग=100, शेष 4 का योग=72। हटाई गई संख्या=100−72=28।

प्रश्न 5

प्रथम 6 सम संख्याओं (2,4,6,8,10,12) का औसत क्या है?

  1. A6
  2. B7
  3. C8
  4. D9

व्याख्या

सूत्र n+1 से n=6: औसत=7। जाँच: योग=42÷6=7।

प्रश्न 6

एक व्यक्ति 60 किमी की दूरी 20 किमी/घंटा की गति से और वापसी वही दूरी 30 किमी/घंटा की गति से तय करता है। उसकी औसत गति क्या होगी?

  1. A25 किमी/घंटा
  2. B24 किमी/घंटा
  3. C26 किमी/घंटा
  4. D22 किमी/घंटा

व्याख्या

औसत गति=2xy/(x+y)=2×20×30/50=1200/50=24 किमी/घंटा — साधारण औसत 25 गलत है।

प्रश्न 7

20 विद्यार्थियों के समूह का औसत भार 45 किग्रा है। यदि 66 किग्रा भार वाला एक नया विद्यार्थी समूह में शामिल हो जाए, तो नया औसत क्या होगा?

  1. A45 किग्रा
  2. B45.5 किग्रा
  3. C46 किग्रा
  4. D47 किग्रा

व्याख्या

पुराना कुल भार=20×45=900; नया कुल=900+66=966; नई संख्या=21; नया औसत=966÷21=46।

प्रश्न 8

3 संख्याओं का औसत 24 है। पहली संख्या 20 और दूसरी संख्या 22 है, तो तीसरी संख्या क्या है?

  1. A26
  2. B28
  3. C30
  4. D32

व्याख्या

तीनों का योग=24×3=72; तीसरी संख्या=72−20−22=30।

प्रश्न 9

प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत क्या है?

  1. A9
  2. B10
  3. C11
  4. D12

व्याख्या

वर्गों का योग=1+4+9+16+25=55; औसत=55÷5=11 [सूत्र (n+1)(2n+1)/6 से n=5: 6×11/6=11]।

प्रश्न 10

कक्षा 6-7 में 'औसत' की अवधारणा को व्यावहारिक रूप से समझाने के लिए सबसे उपयुक्त गतिविधि कौन-सी है?

  1. Aविद्यार्थियों के बीच कंचे/पेंसिलें बराबर-बराबर बाँटकर 'बराबरीकरण' के रूप में दिखाना
  2. Bकेवल सूत्र लिखकर समझाना
  3. Cबिना उदाहरण परिभाषा रटवाना
  4. Dकोई गतिविधि न कराना

व्याख्या

'बराबरीकरण' गतिविधि से बच्चे भौतिक रूप से देखते हैं कि औसत का अर्थ असमान मात्राओं को बराबर स्तर पर लाना है, जो अमूर्त सूत्र से कहीं अधिक टिकाऊ समझ देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET में औसत से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से गणित खंड में 1–2 प्रश्न पूछे गए, जो क्रमागत संख्याओं और घनों के औसत पर आधारित थे।

औसत का मूल सूत्र क्या है?+

औसत = सभी प्रेक्षणों (संख्याओं) का योग ÷ प्रेक्षणों की कुल संख्या।

औसत गति का सूत्र क्या है?+

जब बराबर दूरी दो अलग चालों x और y से तय की जाए, तो औसत गति = 2xy/(x+y) होती है, साधारण औसत (x+y)/2 नहीं।

क्रमागत संख्याओं का औसत जल्दी कैसे निकालें?+

पहली और अंतिम संख्या को जोड़कर 2 से भाग दें — यह पूरा योग बनाने से कहीं तेज़ तरीका है।

भारित औसत सामान्य औसत से कैसे अलग है?+

सामान्य औसत में सभी मान बराबर महत्व रखते हैं, जबकि भारित औसत में हर मान को उसके समूह के आकार (भार) के अनुसार महत्व दिया जाता है, इसलिए दोनों के परिणाम अलग-अलग आ सकते हैं।

यदि सभी संख्याओं में समान मान जोड़ दें, तो औसत पर क्या असर पड़ेगा?+

नया औसत भी उतने ही मान से बढ़ जाएगा — यानी नया औसत = पुराना औसत + जोड़ा गया मान।

औसत गति निकालते समय सबसे बड़ी सावधानी क्या है?+

जब दूरी बराबर हो और चालें अलग-अलग हों, तो साधारण औसत [(x+y)/2] की बजाय हरात्मक माध्य सूत्र 2xy/(x+y) का प्रयोग करना चाहिए, वरना उत्तर गलत आएगा।

क्या औसत हमेशा दी गई संख्याओं के बीच में ही आता है?+

हाँ, औसत सदैव सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच में ही आता है, चाहे वह दी गई संख्याओं में से एक हो या न हो।

औसत निकालने के लिए कम से कम कितनी संख्याएँ चाहिए?+

औसत निकालने के लिए कम से कम एक संख्या पर्याप्त है (जिसका औसत स्वयं वही संख्या होगी), पर व्यावहारिक रूप से यह दो या अधिक संख्याओं के लिए उपयोगी अवधारणा है।

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आधिकारिक स्रोत

  1. NCERT कक्षा 6–8 गणित पाठ्यपुस्तकें (आधिकारिक)
  2. राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (BSER) — REET आधिकारिक जानकारी

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए