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REET L1+L2 · गणित

वृत्त (Circle) — REET गणित नोट्स

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यह पेज REET गणित के 'वृत्त' (Circle) टॉपिक को सिलेबस के अनुसार कवर करता है — परिभाषाएँ, परिधि-क्षेत्रफल के सूत्र, जीवा-स्पर्शरेखा की अवधारणा और स्वयं जाँची गई गणनाओं वाले हल किए उदाहरण दिए गए हैं। REET Level 1 व Level 2 दोनों की गणित परीक्षा में ज्यामिति खंड में यह टॉपिक शामिल है, इसलिए π के सही प्रयोग व इकाइयों की स्पष्ट समझ ज़रूरी है।

  • REET 2024 में 0 प्रश्न (सिलेबस-आधारित नोट्स)
  • कक्षा 6–8 स्तर
  • 8 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 के प्रश्नपत्रों के रिकॉर्ड में 'वृत्त' (Circle) से कोई सीधा प्रश्न दर्ज नहीं मिला, फिर भी यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस के ज्यामिति खंड (कक्षा 6-8 स्तर) में शामिल है और परिधि, क्षेत्रफल तथा जीवा-स्पर्शरेखा जैसी शब्दावली पर आधारित प्रश्न सामान्य प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। नीचे के नोट्स सिलेबस की वर्डिंग और स्वयं जाँची गई गणनाओं पर आधारित हैं — कोई काल्पनिक 'पिछला प्रश्न' नहीं लिया गया है।

मूल परिभाषाएँ

वृत्त (circle) एक समतल आकृति है जिसके सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होते हैं। यह निश्चित दूरी त्रिज्या (radius, r) कहलाती है। केंद्र से गुज़रने वाली और वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा व्यास (diameter, d) कहलाती है, जो त्रिज्या की दोगुनी होती है: d = 2r।

जीवा (chord) वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है (व्यास सबसे लंबी जीवा है)। स्पर्शरेखा (tangent) वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, और यह उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत (perpendicular) होती है। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं।

काम आने वाले सूत्र

परिधि (circumference)
C = 2πr = πd
क्षेत्रफल (area)
A = πr²
π का मान
22/7 (त्रिज्या 7 के गुणज होने पर) या 3.14 (सामान्यतः)
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
πr²/2
त्रिज्यखंड (sector) का क्षेत्रफल
(θ/360°) × πr²
चाप (arc) की लंबाई
(θ/360°) × 2πr

परिधि व क्षेत्रफल के हल किए उदाहरण (π = 22/7)

उदाहरण 1: यदि त्रिज्या r = 7cm हो, तो परिधि = 2×(22/7)×7 = 44cm, और क्षेत्रफल = (22/7)×7×7 = 154 cm²।

उदाहरण 2: यदि त्रिज्या r = 14cm हो, तो परिधि = 2×(22/7)×14 = 88cm, और क्षेत्रफल = (22/7)×14×14 = 616 cm² (चूँकि 14×14=196, और 196÷7×22 = 616)।

उदाहरण 3: यदि व्यास d = 42cm हो (अर्थात् त्रिज्या r = 21cm), तो परिधि = 2×(22/7)×21 = 132cm, और क्षेत्रफल = (22/7)×21×21 = 1386 cm²।

उलटे प्रश्न व त्रिज्यखंड के हल किए उदाहरण

स्थितिहल
एक वृत्त की परिधि 44cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=22/7)।C=2πr ⇒ 44 = 2×(22/7)×r ⇒ r = 44×7÷44 = 7cm; क्षेत्रफल = (22/7)×7×7 = 154 cm²
21cm त्रिज्या के वृत्त में 60° के त्रिज्यखंड की चाप-लंबाई ज्ञात करें (π=22/7)।पूरी परिधि = 2×(22/7)×21 = 132cm; चाप = (60/360)×132 = 22cm
10cm त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=3.14 का प्रयोग करें)।क्षेत्रफल = 3.14×10×10 = 314 cm²

सभी मान हल करके जाँचे गए हैं; कोष्ठक में π का प्रयोग किया गया मान बताया गया है।

वृत्त से जुड़े महत्वपूर्ण तथ्य

जो वृत्त एक ही केंद्र वाले पर अलग-अलग त्रिज्या के हों, उन्हें संकेंद्री वृत्त (concentric circles) कहते हैं। समान त्रिज्या वाले वृत्त सर्वांगसम (congruent circles) कहलाते हैं। किसी वृत्त में स्पर्श-बिंदु पर स्पर्शरेखा और त्रिज्या के बीच का कोण सदैव 90° (समकोण) होता है — यह गुण ज्यामिति के कई प्रमाणों की नींव है।

एक व्यावहारिक उदाहरण: एक गोलाकार पार्क की त्रिज्या 21m है। उसके चारों ओर ₹5 प्रति मीटर की दर से तार-बाड़ लगवाने का कुल खर्च ज्ञात करें। हल: परिधि = 2×(22/7)×21 = 132m; कुल खर्च = 132×5 = ₹660।

त्रिज्यखंड, वृत्तखंड व अर्धवृत्त

त्रिज्यखंड (sector) वृत्त का वह भाग है जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा होता है — जैसे किसी गोल थाली या पिज़्ज़ा का एक कटा हुआ टुकड़ा। वृत्तखंड (segment) वह भाग है जो किसी जीवा व उससे संबंधित चाप के बीच घिरा होता है — यह त्रिज्यखंड से इसलिए अलग है क्योंकि इसकी सीमा में कोई त्रिज्या शामिल नहीं होती, केवल एक जीवा होती है। अर्धवृत्त (semicircle) वृत्त का ठीक आधा भाग है, जो व्यास द्वारा वृत्त को दो बराबर भागों में बाँटने से बनता है।

उदाहरण: 14cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=22/7)। हल: पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7)×14×14 = 616 cm²। 90° का भाग = 90/360 = 1/4, इसलिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 616/4 = 154 cm²।

इसी तरह चाप की लंबाई भी कोण के अनुपात में निकाली जाती है: चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr। उदाहरण के लिए 21cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° के चाप की लंबाई = (120/360) × 2×(22/7)×21 = (1/3) × 132 = 44 cm — यहाँ पूरी परिधि (132 cm) को कोण के अनुपात में बाँटा गया है, ठीक वैसे ही जैसे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे क्षेत्रफल के अनुपात में निकाला जाता है।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

गतिविधि

विद्यार्थियों को थाली, गिलास, ढक्कन जैसी गोल वस्तुएँ देकर धागे से परिधि व स्केल से व्यास नपवाएँ, फिर परिधि÷व्यास निकलवाएँ — बार-बार यह मान लगभग 3.14 (π) आने पर विद्यार्थी स्वयं अनुपात 'खोजते' हैं।

शिक्षण सहायक सामग्री

कम्पास से अलग-अलग त्रिज्या के वृत्त बनवाकर, केंद्र-त्रिज्या-व्यास-जीवा को रंगीन पेन से चिह्नित करवाना, ताकि शब्दावली आकृति से जुड़कर याद रहे।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर परिधि (रेखा की लंबाई) व क्षेत्रफल (सतह की माप) को एक जैसा मान लेते हैं, या त्रिज्या की जगह व्यास सूत्र में रख देते हैं — दोनों को बार-बार तुलना कर स्पष्ट करना चाहिए।

आकलन विचार

विद्यार्थियों से स्कूल के गोल बगीचे या मैदान की सीमा व क्षेत्रफल दोनों निकलवाकर वास्तविक जीवन में इनके अलग-अलग उपयोग (बाड़-लगाना बनाम घास बिछाना) पर चर्चा करवाएँ।

याद रखने की ट्रिक

जब त्रिज्या 7 का गुणज हो तो हमेशा π = 22/7 प्रयोग करें (गणना सरल व शुद्ध आएगी); अन्य स्थितियों में π = 3.14 प्रयोग करें। परिधि (रेखीय माप, इकाई: cm/m) व क्षेत्रफल (सतह माप, इकाई: cm²/m²) की इकाई देखकर हमेशा जाँच लें कि सही सूत्र लगाया है या नहीं।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

7cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A22cm
  2. B154cm
  3. C49cm
  4. D44cm

व्याख्या

परिधि = 2πr = 2×(22/7)×7 = 44cm।

प्रश्न 2

14cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A308 cm²
  2. B196 cm²
  3. C616 cm²
  4. D88 cm²

व्याख्या

क्षेत्रफल = πr² = (22/7)×14×14 = 22×2×14 = 616 cm²।

प्रश्न 3

एक वृत्त का व्यास 42cm है। उसकी परिधि ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A264cm
  2. B132cm
  3. C66cm
  4. D1386cm

व्याख्या

त्रिज्या = 42/2 = 21cm। परिधि = 2×(22/7)×21 = 132cm।

प्रश्न 4

एक वृत्त की परिधि 44cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A154 cm²
  2. B88 cm²
  3. C121 cm²
  4. D196 cm²

व्याख्या

44 = 2×(22/7)×r ⇒ r = 44×7/44 = 7cm। क्षेत्रफल = (22/7)×7×7 = 154 cm²।

प्रश्न 5

एक गोलाकार पार्क की त्रिज्या 21m है। उसके चारों ओर ₹5 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगवाने का कुल खर्च ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A₹550
  2. B₹770
  3. C₹660
  4. D₹440

व्याख्या

परिधि = 2×(22/7)×21 = 132m। कुल खर्च = 132×5 = ₹660।

प्रश्न 6

वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?

  1. Aछेदक रेखा (secant)
  2. Bस्पर्शरेखा (tangent)
  3. Cव्यास (diameter)
  4. Dजीवा (chord)

व्याख्या

स्पर्शरेखा (tangent) वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जबकि जीवा व छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं।

प्रश्न 7

वृत्त की सबसे लंबी जीवा को क्या कहते हैं?

  1. Aस्पर्शरेखा (tangent)
  2. Bत्रिज्या (radius)
  3. Cचाप (arc)
  4. Dव्यास (diameter)

व्याख्या

व्यास (diameter) केंद्र से गुज़रने वाली जीवा है और यह वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है, जो त्रिज्या की दोगुनी होती है।

प्रश्न 8

किसी वृत्त के बाहरी बिंदु से उस वृत्त पर कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं?

  1. A2
  2. B3
  3. C1
  4. Dअनंत

व्याख्या

किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं, जबकि वृत्त पर स्थित बिंदु से केवल एक स्पर्शरेखा संभव है।

प्रश्न 9

14cm त्रिज्या वाले वृत्त के अर्धवृत्त (semicircle) का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π=22/7 लें)।

  1. A616 cm²
  2. B308 cm²
  3. C462 cm²
  4. D154 cm²

व्याख्या

पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7)×14×14 = 616 cm²। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 616/2 = 308 cm²।

प्रश्न 10

कक्षा 6 के विद्यार्थियों को परिधि व व्यास के अनुपात (π) की अवधारणा समझाने के लिए सबसे उपयुक्त गतिविधि कौन-सी है?

  1. Aपाठ्यपुस्तक का चित्र दिखाकर आगे बढ़ जाना
  2. Bकेवल π=22/7 सूत्र रटवाना
  3. Cगोल वस्तुओं (थाली, गिलास) पर धागा लपेटकर परिधि व स्केल से व्यास मापकर अनुपात निकलवाना
  4. Dइस अवधारणा के लिए किसी गतिविधि की आवश्यकता नहीं

व्याख्या

हाथों से मापकर अनुपात निकालने पर विद्यार्थी स्वयं यह 'खोजते' हैं कि परिधि हमेशा व्यास की लगभग 3.14 गुनी होती है, जिससे π की अवधारणा रटने की बजाय समझ में आती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET परीक्षा में 'वृत्त' से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से कोई सीधा प्रश्न रिकॉर्ड में नहीं मिला, लेकिन यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस के ज्यामिति खंड में शामिल है, इसलिए इसकी तैयारी ज़रूरी है।

वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल में क्या अंतर है?+

परिधि (circumference) वृत्त की सीमा-रेखा की कुल लंबाई है (C=2πr), जबकि क्षेत्रफल (area) वृत्त के अंदर की सतह की माप है (A=πr²) — दोनों की इकाइयाँ भी अलग होती हैं।

जीवा और स्पर्शरेखा में क्या फर्क है?+

जीवा (chord) वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, जबकि स्पर्शरेखा (tangent) वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

π का मान कब 22/7 और कब 3.14 लेना चाहिए?+

जब त्रिज्या 7 का गुणज हो (जैसे 7, 14, 21) तो 22/7 प्रयोग करने से गणना सरल व शुद्ध आती है; अन्य मामलों में सामान्यतः 3.14 प्रयोग किया जाता है।

त्रिज्यखंड (sector) और वृत्तखंड (segment) में क्या अंतर है?+

त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं व उनके बीच के चाप से घिरा भाग है (जैसे पिज़्ज़ा का टुकड़ा), जबकि वृत्तखंड केवल एक जीवा व उससे संबंधित चाप के बीच घिरा भाग है, जिसमें कोई त्रिज्या शामिल नहीं होती।

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आधिकारिक स्रोत

  1. BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए