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REET L1+L2 · गणित

समय एवं कार्य (Time and Work) — REET गणित नोट्स

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यह पेज REET गणित के 'समय एवं कार्य' (Time and Work) टॉपिक को सिलेबस के अनुसार कवर करता है — कार्यक्षमता (efficiency), एक-दिन का कार्य और पाइप-टंकी जैसे प्रश्नों को हल करने का तरीका सरल, सत्यापित उदाहरणों से समझाया गया है। REET Level 1 व Level 2 दोनों की गणित परीक्षा में यह टॉपिक सिलेबस में शामिल है, इसलिए सूत्र के साथ-साथ अवधारणा स्पष्ट होना ज़रूरी है।

  • REET 2024 में 0 प्रश्न (सिलेबस-आधारित नोट्स)
  • कक्षा 6–8 स्तर
  • 8 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 के प्रश्नपत्रों के रिकॉर्ड में 'समय एवं कार्य' (Time and Work) से कोई सीधा प्रश्न दर्ज नहीं मिला — यानी हर वर्ष इस टॉपिक से प्रश्न आना ज़रूरी नहीं। लेकिन यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस के अंकगणित खंड (कक्षा 6–8 स्तर) में स्पष्ट रूप से शामिल है, इसलिए तैयारी में इसे छोड़ना जोखिम भरा होगा। नीचे के सभी नोट्स, सूत्र और उदाहरण पूरी तरह सिलेबस की वर्डिंग और मानक अवधारणाओं पर आधारित हैं — किसी काल्पनिक 'पिछले प्रश्न' का हवाला नहीं दिया गया है।

मूल अवधारणा और सूत्र

'समय और कार्य' अंकगणित की वह शाखा है जिसमें यह पता लगाया जाता है कि कोई व्यक्ति, मशीन या समूह किसी काम को कितने समय में पूरा करेगा — अकेले या दूसरों के साथ मिलकर। मूल नियम यह है: यदि कोई व्यक्ति A किसी कार्य को 'a' दिनों में पूरा करता है, तो A का 1 दिन का कार्य = 1/a माना जाता है। पूरा कार्य हमेशा '1 इकाई' के बराबर लिया जाता है, चाहे वास्तविक कार्य कुछ भी हो — यही मानक REET-स्तरीय हल की नींव है।

यदि दो व्यक्ति A और B अलग-अलग क्रमशः 'a' और 'b' दिनों में कार्य पूरा करते हैं, तो दोनों मिलकर एक दिन में (1/a + 1/b) भाग कार्य करेंगे, और पूरा कार्य मिलकर पूरा करने में लगने वाला समय = ab/(a+b) दिन होगा। जितने अधिक लोग कार्य में जुड़ते हैं, समय उतना ही कम लगता है — यह विपरीत आनुपातिकता (inverse proportion) का सीधा उदाहरण है, और इसी सिद्धांत पर 'पुरुष-दिन' (Men-Days) के प्रश्न भी बनते हैं।

काम आने वाले सूत्र

A का 1 दिन का कार्य
1/a (यदि A कार्य 'a' दिनों में पूरा करता है)
A व B मिलकर लगने वाला समय
ab/(a+b) दिन
पुरुष-दिन नियम (Men–Days rule)
M₁D₁ = M₂D₂ (कार्य की मात्रा समान रहने पर)
पाइप भरने की दर (इनलेट)
धनात्मक (+) दर से टंकी भरती है
पाइप खाली करने की दर (आउटलेट)
ऋणात्मक (−) दर से टंकी खाली होती है
कार्य व मज़दूरी का बंटवारा
हमेशा कार्यक्षमता (efficiency) के अनुपात में होता है, दिनों के अनुपात में नहीं

कार्यक्षमता (Efficiency) विधि से हल

जब प्रश्न में 'A, B से दोगुना कार्यकुशल है' जैसी बात कही जाए, तो कार्यक्षमता विधि सबसे तेज़ तरीका है। उदाहरण: यदि A, B से दोगुना कार्यकुशल है और दोनों मिलकर एक कार्य 12 दिन में पूरा करते हैं, तो कार्यक्षमता अनुपात A:B = 2:1 है। मान लें B का 1 दिन का कार्य = x, तो A का = 2x। दोनों मिलकर 3x = 1/12, अर्थात् x = 1/36। इसलिए A अकेले 18 दिन में और B अकेले 36 दिन में कार्य पूरा करेगा। जाँच: 1/18 + 1/36 = 2/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12 — यह दिए गए 12 दिन से पूरी तरह मेल खाता है।

एक और उदाहरण: A किसी कार्य को 15 दिन में और B उसी कार्य को 10 दिन में पूरा करता है। दोनों मिलकर कितने दिन में कार्य पूरा करेंगे? हल: 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6, अर्थात् दोनों मिलकर 6 दिन में कार्य पूरा करेंगे। यही तरीका किसी भी दो-व्यक्ति के प्रश्न पर सीधे लागू होता है — दरें जोड़ो, फिर उलटा (reciprocal) लो।

पाइप-टंकी व पुरुष-दिन के हल किए उदाहरण

स्थितिहल
पाइप A अकेले टंकी 6 घंटे में भरता है, पाइप B (आउटलेट) 9 घंटे में खाली करता है — दोनों साथ खुले हों तो टंकी कितनी देर में भरेगी?1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18 ⇒ टंकी 18 घंटे में भरेगी
6 आदमी किसी कार्य को 10 दिन में पूरा करते हैं। उसी कार्य को 5 दिन में पूरा करने के लिए कितने आदमी चाहिए?M₁D₁ = M₂D₂ ⇒ 6×10 = M₂×5 ⇒ M₂ = 12 आदमी
A, B व C मिलकर एक कार्य के लिए ₹1800 पाते हैं; उनकी कार्यक्षमता का अनुपात 3:4:5 है — हिस्सा कितना-कितना?कुल भाग = 3+4+5 = 12 ⇒ A = 450, B = 600, C = 750 (₹1800 में से)

सभी मान हल करके जाँचे गए हैं।

एकांतर दिनों (Alternate Days) की विधि

कभी-कभी REET-स्तर के प्रश्नों में A व B एकांतर दिनों (alternate days) पर कार्य करते हैं — जैसे पहले दिन A, दूसरे दिन B, फिर यही क्रम दोहराया जाता है। ऐसे प्रश्नों में सबसे आसान तरीका है पूरे एक चक्र (जितने व्यक्ति हों उतने दिन) में कुल कितना कार्य होता है, यह निकालकर पूरे चक्रों की संख्या ज्ञात करना।

उदाहरण: A किसी कार्य को 10 दिन में तथा B उसी कार्य को 15 दिन में पूरा कर सकता है। यदि दोनों एकांतर दिनों पर कार्य करें (पहले दिन A, फिर B), तो कार्य कितने दिन में पूरा होगा? हल: 2 दिन के एक चक्र में कार्य = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6। चूँकि 6 ऐसे चक्रों (कुल 12 दिन) में 6×1/6 = 1 पूरा कार्य हो जाता है, अतः कार्य ठीक 12वें दिन (B के दिन) पूरा होगा।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

गतिविधि

कक्षा में दो-तीन विद्यार्थियों को एक ही काम (जैसे 20 कागज़ के गुब्बारे मोड़ना) अलग-अलग गति से करने दें, फिर मिलकर करने पर लगने वाला वास्तविक समय नोट करवाएँ — इससे 'मिलकर कार्य करने पर समय घटता है' की अवधारणा प्रत्यक्ष अनुभव से स्पष्ट होती है।

शिक्षण सहायक सामग्री

दो अलग आकार के मग या नल से एक बाल्टी भरवाकर पाइप-टंकी की अवधारणा को मूर्त (concrete) रूप में दिखाया जा सकता है, जिससे भिन्न (fraction) के रूप में दर लिखना आसान लगता है।

सामान्य भ्रांति

विद्यार्थी अक्सर दरों की बजाय सीधे समय जोड़ने की गलती करते हैं (जैसे 'A 12 दिन + B 18 दिन = 30 दिन में साथ पूरा होगा'), जबकि सही तरीका 1-दिन के कार्य (दरों) को जोड़ना है, समय को नहीं।

आकलन विचार

विद्यार्थियों से पूछें कि 'यदि काम करने वालों की संख्या दोगुनी कर दी जाए तो समय पर क्या असर पड़ेगा' और तर्क सहित उत्तर लिखवाएँ — इससे विपरीत आनुपातिकता की समझ जाँची जा सकती है।

याद रखने की ट्रिक

हमेशा 'कुल कार्य = 1 इकाई' मानकर दरें (1/दिन) जोड़ें या घटाएँ, कभी भी दिनों को सीधे न जोड़ें-घटाएँ। पाइप-टंकी में आउटलेट (खाली करने वाला पाइप) की दर हमेशा ऋणात्मक (−) लें — यही सबसे आम गलती की जगह है।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

A किसी कार्य को 15 दिन में तथा B उसी कार्य को 10 दिन में पूरा करता है। दोनों मिलकर कार्य कितने दिन में पूरा करेंगे?

  1. A5 दिन
  2. B12.5 दिन
  3. C25 दिन
  4. D6 दिन

व्याख्या

A व B की दरें: 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6। अतः दोनों मिलकर कार्य 6 दिन में पूरा करेंगे।

प्रश्न 2

A, B से तीन गुना कार्यकुशल है और B से 20 दिन कम समय में कार्य पूरा करता है। A अकेले कार्य कितने दिन में पूरा करेगा?

  1. A30 दिन
  2. B6 दिन
  3. C10 दिन
  4. D15 दिन

व्याख्या

मान B = x दिन, तो A = x/3 दिन (तीन गुना कुशल)। शर्त: x/3 = x − 20 ⇒ x − x/3 = 20 ⇒ 2x/3 = 20 ⇒ x = 30। अतः B = 30 दिन, A = 10 दिन (जाँच: 30−10=20, शर्त पूरी)।

प्रश्न 3

12 आदमी किसी कार्य को 8 दिन में पूरा करते हैं। उसी कार्य को 6 दिन में पूरा करने के लिए कितने आदमी चाहिए?

  1. A9
  2. B16
  3. C14
  4. D18

व्याख्या

M₁D₁ = M₂D₂ ⇒ 12×8 = M₂×6 ⇒ 96 = 6M₂ ⇒ M₂ = 16 आदमी।

प्रश्न 4

A व B मिलकर एक कार्य 12 दिन में, B व C मिलकर 15 दिन में तथा A व C मिलकर 20 दिन में पूरा करते हैं। A, B, C तीनों मिलकर कार्य कितने दिन में पूरा करेंगे?

  1. A10 दिन
  2. B15 दिन
  3. C5 दिन
  4. D20 दिन

व्याख्या

तीनों समीकरण जोड़ने पर: 2(1/A+1/B+1/C) = 1/12+1/15+1/20 = 5/60+4/60+3/60 = 12/60 = 1/5। अतः 1/A+1/B+1/C = 1/10, यानी तीनों मिलकर 10 दिन में कार्य पूरा करेंगे।

प्रश्न 5

दो पाइप A व B एक टंकी को क्रमशः 20 व 30 मिनट में भर सकते हैं। दोनों एक साथ खोले जाते हैं, लेकिन टंकी को 18 मिनट में भरने के लिए पाइप B को कितनी देर बाद बंद करना होगा?

  1. A6 मिनट
  2. B12 मिनट
  3. C3 मिनट
  4. D9 मिनट

व्याख्या

A पूरे 18 मिनट चलता है: 18/20 = 9/10 कार्य। शेष कार्य = 1/10, जो B करेगा। B की दर 1/30 प्रति मिनट है, तो समय = (1/10)÷(1/30) = 3 मिनट। जाँच: 9/10 + 3/30(=1/10) = 1 पूरा कार्य।

प्रश्न 6

A किसी कार्य को 18 दिन में पूरा कर सकता है। उसने 6 दिन कार्य किया और छोड़ दिया, शेष कार्य B ने 8 दिन में पूरा किया। B अकेला पूरा कार्य कितने दिन में करेगा?

  1. A24 दिन
  2. B12 दिन
  3. C10 दिन
  4. D16 दिन

व्याख्या

A का 6 दिन का कार्य = 6/18 = 1/3। शेष कार्य = 2/3, जो B ने 8 दिन में किया, तो B की दर = (2/3)/8 = 1/12। अतः B अकेला 12 दिन में पूरा कार्य करेगा।

प्रश्न 7

कक्षा 5 के विद्यार्थियों को 'समय और कार्य' की अवधारणा समझाने के लिए शिक्षिका के लिए सबसे उपयुक्त तरीका कौन-सा है?

  1. Aयह टॉपिक कक्षा 5 स्तर के लिए उपयुक्त नहीं, इसलिए न पढ़ाना
  2. Bकेवल सूत्र ab/(a+b) बोर्ड पर लिखकर रटवाना
  3. Cबिना उदाहरण के सीधे कठिन प्रश्न हल करवाना
  4. Dविद्यार्थियों से वास्तविक कक्षा-कार्य (जैसे बेंच साफ करना) अकेले व समूह में करवाकर समय की तुलना करवाना

व्याख्या

ठोस, अनुभव-आधारित गतिविधि से बच्चे यह स्वयं देख पाते हैं कि मिलकर काम करने पर समय घटता है, जिससे अमूर्त सूत्र बाद में सार्थक लगता है — यह रटने से कहीं अधिक प्रभावी शिक्षण-शास्त्र है।

प्रश्न 8

A व B एक कार्य ₹720 में करने का बीड़ा उठाते हैं। A अकेला उसे 6 दिन में तथा B अकेला 8 दिन में कर सकता है। C की सहायता से तीनों उसे 3 दिन में पूरा करते हैं। C का हिस्सा कितना होगा?

  1. A₹90
  2. B₹180
  3. C₹120
  4. D₹60

व्याख्या

A की दर 1/6, B की 1/8; तीनों मिलकर दर 1/3। C की दर = 1/3 − (1/6+1/8) = 1/3 − 7/24 = 8/24−7/24 = 1/24। दरों का अनुपात A:B:C = 4:3:1 (24 के गुणक में)। कुल 8 भाग = ₹720 ⇒ 1 भाग = ₹90, यही C का हिस्सा है।

प्रश्न 9

A किसी कार्य को 20 दिन में पूरा कर सकता है। A व B मिलकर उसी कार्य को 4 दिन में पूरा करते हैं। B अकेला कार्य कितने दिन में पूरा करेगा?

  1. A16 दिन
  2. B5 दिन
  3. C8 दिन
  4. D24 दिन

व्याख्या

1/A+1/B = 1/4 ⇒ 1/20+1/B = 1/4 ⇒ 1/B = 1/4−1/20 = 5/20−1/20 = 4/20 = 1/5। अतः B अकेला 5 दिन में कार्य पूरा करेगा।

प्रश्न 10

15 महिलाएँ किसी कार्य को 8 दिन में पूरा करती हैं। समान कार्यक्षमता मानते हुए, वही कार्य 12 महिलाएँ कितने दिन में पूरा करेंगी?

  1. A6.4 दिन
  2. B9 दिन
  3. C10 दिन
  4. D20 दिन

व्याख्या

कुल कार्य = 15×8 = 120 महिला-दिन। 12 महिलाओं के लिए समय = 120/12 = 10 दिन।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REET परीक्षा में 'समय और कार्य' से कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 में इस टॉपिक से कोई सीधा प्रश्न रिकॉर्ड में नहीं मिला, लेकिन यह BSER के आधिकारिक गणित सिलेबस में शामिल है, इसलिए भविष्य की परीक्षाओं के लिए इसकी तैयारी ज़रूरी मानी जानी चाहिए।

समय और कार्य के प्रश्न हल करने की सबसे तेज़ विधि कौन-सी है?+

कार्यक्षमता (efficiency/rate) विधि सबसे तेज़ है — हर व्यक्ति का 1 दिन का कार्य भिन्न (1/दिन) के रूप में लिखकर जोड़ें या घटाएँ, फिर उलटा (reciprocal) लेकर कुल समय निकालें।

पाइप और टंकी के प्रश्नों में इनलेट व आउटलेट का क्या मतलब है?+

इनलेट (inlet) पाइप टंकी को भरता है इसलिए इसकी दर धनात्मक ली जाती है, जबकि आउटलेट (outlet) पाइप टंकी को खाली करता है इसलिए इसकी दर ऋणात्मक ली जाती है — दोनों साथ खुले होने पर दरों को जोड़ा जाता है।

'पुरुष-दिन' (Men-Days) नियम क्या है और कब प्रयोग होता है?+

जब कार्य की मात्रा समान रहे तो आदमियों की संख्या और दिनों की संख्या का गुणनफल स्थिर रहता है (M₁D₁ = M₂D₂) — इसका उपयोग तब होता है जब आदमियों की संख्या बदलने पर लगने वाला नया समय ज्ञात करना हो।

एकांतर दिनों (alternate days) पर काम करने के प्रश्न कैसे हल करें?+

पहले यह निकालें कि एक पूरे चक्र (जितने व्यक्ति हों उतने दिन) में मिलकर कितना कार्य होता है, फिर देखें कि कितने पूरे चक्रों में कार्य पूरा हो जाता है — बचे हुए कार्य के लिए अगले व्यक्ति के दिन को अलग से जोड़ें।

आगे पढ़ें

औसत — REET नोट्स

पिछला टॉपिक: औसत की अवधारणा व सूत्र पढ़ें।

समय, चाल एवं दूरी — REET नोट्स

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REET 2024 हल सहित पेपर

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आधिकारिक स्रोत

  1. BSER — REET आधिकारिक सिलेबस व 2024 प्रश्न-पत्र (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए