मुख्य सामग्री पर जाएं
REET L1+L2 · गणित

परिमाप एवं क्षेत्रफल (Perimeter and Area): सूत्र, शॉर्टकट और हल उदाहरण

Read this in English →

इस पेज में सभी समतल आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल के सूत्र, इकाई रूपांतरण, भुजा बदलने पर क्षेत्रफल में बदलाव के शॉर्टकट और REET स्तर के हल उदाहरण दिए गए हैं। REET 2024 में इस टॉपिक से 5 प्रश्न आए — ये सब सीधे सूत्र और 1–2 चरण की गणना वाले थे, इसलिए यहाँ पूरे अंक लेना आसान है।

  • REET 2024 में 5 प्रश्न
  • कक्षा 3–8 स्तर
  • 7 मिनट पढ़ें
16 सितंबर 2026 को सत्यापित · स्रोत: NCERT — गणित पाठ्यपुस्तकें (कक्षा 6–8 व कक्षा 9 हीरोन सूत्र)

REET में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

REET 2024 के 5 प्रश्न सीधे सूत्र-आधारित थे: बाड़ के खर्च से आयत का परिमाप और फिर लंबाई निकालना, एक ही आधार पर बराबर क्षेत्रफल वाले समांतर चतुर्भुज व त्रिभुज की ऊँचाई की तुलना, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4 a²), और एक समलंब आकृति का क्षेत्रफल जिसमें पाइथागोरस से एक भुजा निकालनी थी। एक प्रश्न (वर्ग की भुजा एक-तिहाई कम करने पर क्षेत्रफल) में सही उत्तर 4/9 विकल्पों में नहीं था, इसलिए उसे बोनस दिया गया। यानी सूत्र पक्के हों और 'भुजा बदलने पर क्षेत्रफल वर्ग के अनुपात में बदलता है' यह समझ हो।

परिमाप और क्षेत्रफल का अर्थ

परिमाप (Perimeter) किसी बंद आकृति की सीमा की कुल लंबाई है — जैसे खेत के चारों ओर बाड़ की लंबाई। इसकी इकाई लंबाई की इकाई (सेमी, मीटर) होती है। वृत्त के परिमाप को परिधि (Circumference) कहते हैं।

क्षेत्रफल (Area) किसी बंद आकृति द्वारा घेरे गए समतल भाग का माप है — जैसे फर्श पर बिछाई जाने वाली टाइलों की संख्या। इसकी इकाई वर्ग इकाई (सेमी², मी²) होती है। बाड़, फ्रेम, किनारी = परिमाप; रंग-रोगन, टाइल, घास, कालीन = क्षेत्रफल।

एक ही परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल अलग हो सकते हैं और एक ही क्षेत्रफल वाली आकृतियों के परिमाप अलग हो सकते हैं। उदाहरण: 6 सेमी × 4 सेमी आयत (परिमाप 20, क्षेत्रफल 24) और 5 सेमी भुजा का वर्ग (परिमाप 20, क्षेत्रफल 25)। दिए गए परिमाप में वर्ग का क्षेत्रफल आयतों में सबसे अधिक होता है।

सभी मुख्य सूत्र एक जगह

आकृतिपरिमापक्षेत्रफल
आयत (लंबाई l, चौड़ाई b)2(l + b)l × b; विकर्ण = √(l² + b²)
वर्ग (भुजा a)4aa² = (विकर्ण)²/2; विकर्ण = a√2
त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h)तीनों भुजाओं का योग½ × b × h
समबाहु त्रिभुज (भुजा a)3a(√3/4) a²; ऊँचाई = (√3/2) a
समकोण त्रिभुजभुजाओं का योग½ × आधार × लंब
कोई भी त्रिभुज (भुजाएँ a, b, c)a + b + c = 2sहीरोन सूत्र: √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
समांतर चतुर्भुज2 × (आसन्न भुजाओं का योग)आधार × ऊँचाई
समचतुर्भुज (विकर्ण d₁, d₂)4 × भुजा½ × d₁ × d₂
समलंब चतुर्भुज (समांतर भुजाएँ a, b; दूरी h)चारों भुजाओं का योग½ × (a + b) × h
वृत्त (त्रिज्या r)परिधि = 2πr = πdπr²
अर्धवृत्तπr + 2r½ πr²

π का मान लगभग 22/7 या 3.14 लिया जाता है; यह अपरिमेय संख्या है, इसलिए 22/7 केवल सन्निकट मान है।

इकाई रूपांतरण और बदलाव के शॉर्टकट

बातनियम
1 मी² = 10,000 सेमी² (क्योंकि 100 × 100)
1 सेमी²= 100 मिमी²
1 आर (are)= 100 मी²
1 हेक्टेयर= 10,000 मी²
1 किमी²= 100 हेक्टेयर = 10,00,000 मी²
हर भुजा k गुना होपरिमाप k गुना, क्षेत्रफल k² गुना (भुजा 2 गुना → क्षेत्रफल 4 गुना)
हर भुजा 1/3 कम हो (नई भुजा = 2/3)नया क्षेत्रफल = (2/3)² = 4/9 भाग; कमी = 5/9
त्रिज्या दुगुनीपरिधि दुगुनी, क्षेत्रफल चार गुना
समान आधार व बराबर क्षेत्रफलत्रिभुज की ऊँचाई = 2 × समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई (क्योंकि ½bh₁ = bh₂)
समान आधार व समान समांतर रेखाओं के बीचत्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

REET स्तर के हल उदाहरण

उदाहरण 1 (बाड़ का खर्च): आयताकार प्लॉट की लंबाई चौड़ाई से 10 मी अधिक है। ₹15.50 प्रति मीटर की दर से बाड़ का खर्च ₹1,550 है। परिमाप = 1550 ÷ 15.50 = 100 मी। 2(l + b) = 100 ⇒ l + b = 50; l − b = 10 ⇒ l = 30 मी, b = 20 मी।

उदाहरण 2 (समलंब): PQ ∥ SR, PS ⊥ PQ, PQ = 11 सेमी, PS = 8 सेमी, QR = 10 सेमी और आकृति का क्षेत्रफल 64 सेमी² है। जाँच: Q से SR पर लंब डालें; ऊँचाई 8 और तिरछी भुजा 10 है, तो क्षैतिज अंतर = √(10² − 8²) = 6 सेमी, अतः SR = 11 − 6 = 5 सेमी। क्षेत्रफल = ½ × (11 + 5) × 8 = 64 सेमी²।

उदाहरण 3 (हीरोन): भुजाएँ 13, 14, 15 सेमी। s = 21; क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 सेमी²।

उदाहरण 4 (पथ): 20 मी × 15 मी के बगीचे के बाहर चारों ओर 2 मी चौड़ा पथ है। बाहरी आयत = 24 × 19 = 456 मी²; पथ का क्षेत्रफल = 456 − 300 = 156 मी²। अंदर की ओर पथ हो तो भीतरी आयत (l − 2w)(b − 2w) घटाएँ।

उदाहरण 5 (वृत्त): 44 सेमी परिधि वाले वृत्त के लिए 2 × 22/7 × r = 44 ⇒ r = 7 सेमी; क्षेत्रफल = 22/7 × 49 = 154 सेमी²।

बच्चों को कैसे पढ़ाएँ

गतिविधि (कक्षा 3–5): धागा और टाइल

बच्चे किताब या मेज़ के किनारे पर धागा घुमाकर नापें — यह परिमाप है। फिर एक-एक वर्ग सेमी के कागज़ी टुकड़े (या ग्राफ़ पेपर के खाने) बिछाकर गिनें — यह क्षेत्रफल है। 'घेरा' और 'फैलाव' का अंतर हाथ से अनुभव होता है।

गतिविधि (कक्षा 6–8): कटाई-जोड़ से सूत्र

कागज़ के समांतर चतुर्भुज का एक त्रिभुज वाला टुकड़ा काटकर दूसरी ओर लगाएँ — आयत बन जाता है, इसलिए क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई। दो सर्वांगसम त्रिभुज जोड़कर समांतर चतुर्भुज बनाएँ, तो त्रिभुज = ½ × आधार × ऊँचाई। सूत्र रटने के बजाय खुद निकलता है।

शिक्षण सामग्री

जियोबोर्ड और रबर बैंड, ग्राफ़ पेपर, वर्ग सेमी की टाइलें, धागा, डॉट पेपर; विद्यालय प्रांगण या कक्षा का फर्श मापने की परियोजना।

आम भ्रांतियाँ

परिमाप और क्षेत्रफल की इकाई मिलाना (क्षेत्रफल को 'सेमी' लिखना); यह मानना कि परिमाप बढ़ने पर क्षेत्रफल हमेशा बढ़ेगा; तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना; 1 मी² = 100 सेमी² समझना।

आकलन का विचार

'24 वर्ग सेमी क्षेत्रफल के जितने अलग आयत (पूर्ण संख्या भुजाओं वाले) बन सकें, बनाओ और उनके परिमाप लिखो' — इससे समझ, तर्क और पैटर्न पहचान तीनों जाँचे जाते हैं।

याद रखने की ट्रिक / परीक्षा टिप

भुजा बदलने वाले प्रश्नों में सूत्र मत लगाइए, अनुपात लगाइए: नई भुजा/पुरानी भुजा = k, तो नया क्षेत्रफल = k² × पुराना। 'एक-तिहाई कम' का अर्थ k = 2/3 (क्षेत्रफल 4/9), 'एक-तिहाई' का अर्थ k = 1/3 (क्षेत्रफल 1/9) — शब्द ध्यान से पढ़ें; REET 2024 का बोनस प्रश्न इसी फर्क पर था।

REET 2024 में पूछे गए प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 103बोनस — अंतिम कुंजी में निरस्त

6 यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा एक तिहाई कम कर दी जाए, तो क्षेत्रफल हो जाएगा

  1. A1/3
  2. B1/2
  3. C1/9
  4. D1/6

व्याख्या

BSER ने अंतिम उत्तर कुंजी में इस प्रश्न को BONUS (निरस्त) कर दिया है। कारण यह प्रतीत होता है कि अंग्रेज़ी और हिंदी रूप में अर्थ अलग है: अंग्रेज़ी 'reduced to one-third' के अनुसार भुजा a/3 होने पर क्षेत्रफल 1/9 गुना हो जाता है (विकल्प C), जबकि हिंदी 'एक तिहाई कम कर दी जाए' के अनुसार भुजा 2a/3 होने पर क्षेत्रफल 4/9 गुना होता है, जो किसी विकल्प में नहीं है। साथ ही प्रश्न में 'मूल क्षेत्रफल का कितना भाग' स्पष्ट नहीं लिखा गया है।

प्रश्न 106

एक आयताकार प्लाट की लम्बाई, उसकी चौड़ाई से 10 मीटर अधिक है । यदि प्लाट के चारों ओर बाड़ लगाने का खर्च ₹ 15.50 प्रति मीटर की दर से ₹ 1,550 हो, तो प्लाट की लम्बाई होगी

  1. A20 मीटर
  2. B30 मीटर
  3. C40 मीटर
  4. D10 मीटर

व्याख्या

परिमाप = कुल खर्च ÷ दर = 1550 ÷ 15.50 = 100 मीटर। यदि चौड़ाई b है तो लम्बाई b + 10, अतः 2(b + 10 + b) = 100 ⇒ 2b + 10 = 50 ⇒ b = 20 मीटर। इसलिए लम्बाई = 30 मीटर; विकल्प (A) 20 मीटर चौड़ाई है।

प्रश्न 96

एक समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज क्षेत्रफल में समान हैं और एक ही आधार पर स्थित हैं । यदि समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 2 सेंटीमीटर हो, तो त्रिभुज की ऊँचाई है :

  1. A1 सेमी
  2. B2 सेमी
  3. C3 सेमी
  4. D4 सेमी

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = b × 2, और त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × b × h। दोनों बराबर हैं: 2b = ½ bh, अतः h = 4 सेमी। समान आधार पर समान क्षेत्रफल के लिए त्रिभुज की ऊँचाई समांतर चतुर्भुज की दोगुनी होनी चाहिए।

प्रश्न 99

3 सेंटीमीटर भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :

  1. A9√3/4 सेमी²
  2. B6√2/4 सेमी²
  3. C3√3/4 सेमी²
  4. D6√2/5 सेमी²

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × a²। a = 3 सेमी रखने पर क्षेत्रफल = (√3/4) × 9 = 9√3/4 सेमी²। विकल्प (C) 3√3/4 में भुजा का वर्ग न लेने की गलती है।

प्रश्न 98

दी गई आकृति में PQ||SR तथा PS⊥PQ है । यदि PQ = 11 सेमी, PS = 8 सेमी तथा QR = 10 सेमी हो तो आकृति PQRS का क्षेत्रफल होगा

चित्र: Trapezium PQRS with PQ=11 cm (bottom), PS=8 cm (left, perpendicular to PQ), QR=10 cm (slanted right side), SR parallel to PQ. Diagram added and verified: the horizontal offset works out to 6 cm, giving SR=5 cm and an area of 64 square cm, matching the stored answer.

  1. A32 सेमी²
  2. B64 सेमी²
  3. C72 सेमी²
  4. D44 सेमी²

व्याख्या

PQRS एक समलम्ब (trapezium) है जिसकी ऊँचाई PS = 8 सेमी है। R से PQ पर लम्ब डालें तो पाइथागोरस से क्षैतिज दूरी = √(10² − 8²) = 6 सेमी, अतः SR = 11 − 6 = 5 सेमी। क्षेत्रफल = ½ × (PQ + SR) × ऊँचाई = ½ × (11 + 5) × 8 = 64 सेमी²।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1

एक आयत की लंबाई 12 सेमी और चौड़ाई 7 सेमी है। उसका परिमाप है

  1. A19 सेमी
  2. B38 सेमी
  3. C84 सेमी
  4. D42 सेमी

व्याख्या

परिमाप = 2(l + b) = 2(12 + 7) = 38 सेमी। 84 सेमी² तो इसका क्षेत्रफल है।

प्रश्न 2

किसी वर्ग का विकर्ण 10 सेमी है। उसका क्षेत्रफल है

  1. A100 सेमी²
  2. B50 सेमी²
  3. C25 सेमी²
  4. D40 सेमी²

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण)²/2 = 100/2 = 50 सेमी²।

प्रश्न 3

एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। उसकी परिधि है (π = 22/7)

  1. A22 सेमी
  2. B44 सेमी
  3. C154 सेमी
  4. D49 सेमी

व्याख्या

परिधि = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी। 154 सेमी² इसका क्षेत्रफल है।

प्रश्न 4

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या तीन गुनी कर दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल हो जाएगा

  1. A3 गुना
  2. B6 गुना
  3. C9 गुना
  4. D27 गुना

व्याख्या

क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में बदलता है: 3² = 9 गुना। परिधि केवल 3 गुनी होगी।

प्रश्न 5

एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी और 12 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल है

  1. A192 सेमी²
  2. B96 सेमी²
  3. C48 सेमी²
  4. D56 सेमी²

व्याख्या

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ = ½ × 16 × 12 = 96 सेमी²।

प्रश्न 6

भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

  1. A30 सेमी²
  2. B60 सेमी²
  3. C65 सेमी²
  4. D32.5 सेमी²

व्याख्या

5² + 12² = 13², इसलिए यह समकोण त्रिभुज है। क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 सेमी² (हीरोन सूत्र से भी s = 15, √(15×10×3×2) = 30)।

प्रश्न 7

30 मी × 20 मी के आयताकार मैदान के भीतर चारों ओर 1 मी चौड़ा पथ बना है। पथ का क्षेत्रफल है

  1. A96 मी²
  2. B100 मी²
  3. C104 मी²
  4. D196 मी²

व्याख्या

भीतरी आयत = (30 − 2)(20 − 2) = 28 × 18 = 504 मी²। पथ = 600 − 504 = 96 मी²।

प्रश्न 8

5 हेक्टेयर बराबर है

  1. A5,000 मी²
  2. B50,000 मी²
  3. C500 मी²
  4. D5,00,000 मी²

व्याख्या

1 हेक्टेयर = 10,000 मी², इसलिए 5 हेक्टेयर = 50,000 मी²।

प्रश्न 9

कक्षा 6 का एक विद्यार्थी कहता है, "जिस आयत का परिमाप अधिक होगा, उसका क्षेत्रफल भी अधिक होगा।" इस भ्रांति को दूर करने का सबसे अच्छा तरीका है

  1. Aसूत्र दोबारा लिखवाना
  2. Bग्राफ़ पेपर पर 1×12 और 4×4 जैसे आयत बनवाकर परिमाप और क्षेत्रफल की तुलना करवाना
  3. Cविद्यार्थी को गलत कहकर आगे बढ़ना
  4. Dकेवल पाठ्यपुस्तक के प्रश्न हल करवाना

व्याख्या

1×12 आयत का परिमाप 26 व क्षेत्रफल 12 है, जबकि 4×4 वर्ग का परिमाप 16 व क्षेत्रफल 16 है। खुद बनाकर तुलना करने से बच्चा प्रमाण देखकर अपनी धारणा बदलता है।

प्रश्न 10

एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर हैं और क्षेत्रफल में बराबर हैं। यदि त्रिभुज की ऊँचाई 12 सेमी है, तो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है

  1. A24 सेमी
  2. B12 सेमी
  3. C6 सेमी
  4. D3 सेमी

व्याख्या

½ × b × 12 = b × h ⇒ h = 6 सेमी। समान आधार और बराबर क्षेत्रफल पर त्रिभुज की ऊँचाई समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई की दुगुनी होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

परिमाप और क्षेत्रफल में क्या अंतर है?+

परिमाप आकृति की सीमा की लंबाई है (इकाई: सेमी, मी), जबकि क्षेत्रफल आकृति द्वारा घेरी गई सतह का माप है (इकाई: सेमी², मी²)।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?+

सूत्र (√3/4) × a² है। जैसे 3 सेमी भुजा के लिए क्षेत्रफल = 9√3/4 सेमी² — REET 2024 में यही पूछा गया।

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्या है?+

½ × (समांतर भुजाओं का योग) × उनके बीच की लंबवत दूरी।

1 हेक्टेयर में कितने वर्ग मीटर होते हैं?+

1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर, और 1 आर = 100 वर्ग मीटर।

परिमाप एवं क्षेत्रफल से REET में कितने प्रश्न आते हैं?+

REET 2024 के प्रश्नपत्रों में इस टॉपिक से 5 प्रश्न आए (जिनमें एक बोनस रहा)। Level 1 व Level 2 दोनों में यह नियमित टॉपिक है।

आगे पढ़ें

सममिति एवं रचनाएँ

पिछला टॉपिक

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

अगला टॉपिक

REET सिलेबस

सभी विषयों का पूरा पाठ्यक्रम और प्रश्नों का बँटवारा

REET 2024 हल प्रश्नपत्र

आधिकारिक उत्तर कुंजी के साथ सभी प्रश्नों की व्याख्या

आधिकारिक स्रोत

  1. NCERT — गणित पाठ्यपुस्तकें (कक्षा 6–8 व कक्षा 9 हीरोन सूत्र)
  2. BSER — REET 2024 आधिकारिक प्रश्न-पत्र व अंतिम उत्तर-कुंजी (मूल PDF; बोर्ड पोर्टल पर अब उपलब्ध नहीं)

बदलाव लॉग

  • 16 सितंबर 2026 — पेज प्रकाशित — तथ्य स्वतंत्र रूप से जाँचे गए